2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2.1 公式的简单应用课件 新人教A版

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时公式的简单应用第三章三角恒等变换课前自主预习1.两角和与差的余弦公式2．两角和与差的正弦公式3．两角和与差的正切公式1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(4)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．()√×√×2．做一做(1)cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A．12B．－12C．0D．1解析cos75°cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.(2)(教材改编P130例4(1))化简：sin21°cos81°－cos21°·sin81°等于()A．12B．－12C．32D．－32解析原式＝sin(21°－81°)＝－sin60°＝－32.(3)tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝________.3解析tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝tan(17°＋43°)＝tan60°＝3.课堂互动探究探究1余弦公式的正用、逆用、变形应用例1化简求值：(1)cos20°cos25°－sin20°sin25°；(2)cosπ4＋φ－cosπ4－φ；(3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.解(1)原式＝cos(20°＋25°)＝cos45°＝22.(2)原式＝cosπ4cosφ－sinπ4sinφ－cosπ4cosφ＋sinπ4sinφ＝－2sinπ4sinφ＝－2×22sinφ＝－2sinφ.(3)原式＝cos(α＋β－β)＝cosα.[条件探究]若将例1(2)改为化简cosπ4＋φ＋cosπ4－φ如何求解？解cosπ4＋φ＋cosπ4－φ＝cosπ4cosφ－sinπ4sinφ＋cosπ4cosφ＋sinπ4sinφ＝2cosπ4cosφ＝2×22cosφ＝2cosφ.拓展提升解决化简求值问题的策略(1)注意分析式子的结构特点，合理选择余弦的和差公式．(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及特殊值的转化．【跟踪训练1】设角α为锐角，求证：(1)32cosα＋12sinα＝cosπ6－α；(2)cosα－sinα＝2cosπ4＋α.证明(1)证法一：右边＝cosπ6cosα＋sinπ6sinα＝32cosα＋12sinα＝左边，等式成立．证法二：联系等式左右两边可知是两角差的余弦公式，由于cosπ6＝32，sinπ6＝12，因此等式左边＝cosπ6cosα＋sinπ6sinα＝cosπ6－α＝右边，等式成立．(2)证法一：右边＝2cosπ4cosα－sinπ4sinα＝222cosα－22sinα＝cosα－sinα＝左边，等式成立．证法二：联系等式左右两边可知是两角和的余弦公式，由于cosπ4＝22，sinπ4＝22，因此等式左边＝222cosα－22sinα＝2cosπ4cosα－sinπ4sinα＝2cosπ4＋α＝右边，等式成立．探究2正弦公式的正用、逆用、变形应用例2化简求值：(1)sin(－15°)；(2)sin13°cos17°＋sin77°cos73°；(3)sinπ12－3cosπ12.解(1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)＝sin30°cos45°－cos30°sin45°＝12×22－32×22＝2－64.(2)原式＝sin13°cos17°＋sin(90°－13°)cos(90°－17°)＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12.(3)原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ12cosπ3－cosπ12sinπ3＝2sinπ12－π3＝－2sinπ4＝－2.拓展提升运用公式进行化简、求值的注意点运用两角和与差的正弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换．据公式结构特征，先构造，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现并利用．【跟踪训练2】化简求值：(1)sin15°＋cos15°；(2)sin119°sin181°－sin91°sin29°；(3)sin47°－sin17°cos30°cos17°.解(1)解法一：sin15°＋cos15°＝222sin15°＋22cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62.解法二：sin15°＋cos15°＝222cos15°＋22sin15°＝2(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝2cos(45°－15°)＝2cos30°＝62.(2)sin119°sin181°－sin91°sin29°＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)sin29°＝cos29°(－sin1°)－cos1°sin29°＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－12.(3)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.探究3正切公式的正用、逆用、变形应用例3求值：(1)1－tan15°1＋tan15°；(2)tan72°－tan42°－33tan72°tan42°.解(1)原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.(2)∵tan30°＝tan(72°－42°)＝tan72°－tan42°1＋tan72°tan42°，∴tan72°－tan42°＝tan30°(1＋tan72°tan42°)．∴原式＝tan30°(1＋tan72°tan42°)－33tan72°tan42°＝33.拓展提升正切公式中的常用规律(1)需牢记公式T(α±β)的符号规律为“分子同，分母反”．(2)注意“1＝tan45°”和“3＝tanπ3”的代换．(3)由正切公式可知，tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一．注意公式的正用、逆用、变形使用．【跟踪训练3】求值：(1)1＋3tan15°3－tan15°；(2)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°.解(1)1＋3tan15°3－tan15°＝33＋tan15°1－33tan15°＝tan30°＋tan15°1－tan30°tan15°＝tan(30°＋15°)＝tan45°＝1.(2)原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan10°tan20°)＝1.1.公式记忆(1)理顺公式间的逻辑关系(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号相反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号相同”．2.应用公式需注意的四点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°，12＝cos60°，32＝sin60°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．(4)当tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在时，不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题.课堂达标自测1．sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是()A．32B．12C．－32D．－12解析sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于()A．2B．1C．12D．4解析因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝21－tanαtanβ＝4，所以tanαtanβ＝12.3．sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)＝________.22解析原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos[90°－(63°－x)]sin(18°－x)＝sin(27°＋x)cos(18°－x)＋cos(27°＋x)sin(18°－x)＝sin(27°＋x＋18°－x)＝sin45°＝22.4．已知cosθ＝130θπ2，则sinθ＋π4的值为________；sinθ－π6的值为__________．4＋2626－16解析因为cosθ＝130θπ2，所以sinθ＝1－cos2θ＝223，所以sinθ＋π4＝sinθcosπ4＋cosθsinπ4＝22×223＋13＝4＋26；sinθ－π6＝sinθcosπ6－cosθsinπ6＝223×32－13×12＝26－16.5．已知△ABC，若sin(A＋B)＝23，cosB＝－34，求cosA的值．解∵cosB＝－34，∴π2Bπ，π2A＋Bπ，∴sinB＝1－cos2B＝74，cos(A＋B)＝－1－sin2A＋B＝－53，∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝－53×－34＋23×74＝35＋2712.