2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦课件 苏教版必修4

第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦学习目标核心素养(教师独具)1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.自主预习探新知两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝.(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝.cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ思考：cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°成立吗？[提示]不成立．1．思考辨析(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.()(2)cos105°＝cos45°cos60°－sin45°sin60°.()(3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.()(4)cosα＋π4cosπ4－α＋sinα＋π4sinπ4－α＝cos2α.()[解析]正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．cos75°＝________；cos15°＝________.6－246＋24[cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝6－24.cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin30°sin45°＝6＋24.]3．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为________．32[cos45°cos15°＋sin15°sin45°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.]合作探究提素养【例1】求下列各式的值：(1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°；(2)cos7°－sin15°sin8°cos8°；(3)12cos15°＋32sin15°；(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值．两角和与差余弦公式的简单应用[解](1)原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°＝cos(70°－40°)＝cos30°＝32.(2)原式＝cos15°－8°－sin15°sin8°cos8°＝cos15°cos8°cos8°＝cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝2＋64.(3)∵cos60°＝12，sin60°＝32，∴12cos15°＋32sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22.(4)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用．1．求下各式的值(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)cos24°cos36°－sin24°cos54°.[解](1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.(2)原式＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝12.【例2】已知锐角α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，求α＋β的值．思路点拨：先求出cosα，sinβ，再利用两角和的余弦公式求出cos(α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值．已知三角函数值求角[解]因为α，β为锐角，且sinα＝55，cosβ＝31010，所以cosα＝1－sin2α＝1－15＝255，sinβ＝1－cos2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22.由0απ2，0βπ2，得0α＋βπ.因为cos(α＋β)0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4.已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角.2．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，求β的值．[解]由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.由0βαπ2，得0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.[探究问题]1．角“α＋β”“β”及“α”间存在怎样的等量关系？提示：α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α.2．已知cos(α＋β)和sinβ的值，如何求cosα的值？提示：由α＝(α＋β)－β可知，cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ，故可先求出sin(α＋β)及cosβ的值，代入上式求得cosα的值．给值求值问题【例3】已知sinα＝－45，sinβ＝513，且πα3π2，π2βπ，求cos(α－β)．思路点拨：由sinα求cosα；由sinβ求cosβ后套用公式求值．[解]∵sinα＝－45，πα3π2，∴cosα＝－1－sin2α＝－35.又∵sinβ＝513，π2βπ，∴cosβ＝－1－sin2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－35×－1213＋－45×513＝1665.1．(变条件)若将本题改为已知sinα＝－45，sinβ＝513，且πα2π，0βπ2，求cos(α－β)．[解]∵sinβ＝513，0βπ2，∴cosβ＝1－sin2β＝1213.又sinα＝－45，且πα2π，①当πα3π2时，cosα＝－1－sin2α＝－35，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－35×1213＋－45×513＝－5665；②当3π2α2π时，cosα＝1－sin2α＝35，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝35×1213＋－45×513＝1665.综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665.2．(变条件)若将本例改为已知sinα＝－45，πα3π2，cos(α－β)＝1665，π2βπ.求sinβ.[解]∵sinα＝－45，且πα3π2，∴cosα＝－1－sin2α＝－35.又∵π2βπ，∴－π－β－π2，∴0α－βπ.又cos(α－β)＝1665，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－16652＝6365，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝－35×1665＋－45×6365＝－1213，∴sinβ＝1－cos2β＝513.1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．教师独具1．本节课的重点是两角和与差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．2．要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用(1)解决给角求值问题．(2)解决给值(式)求值问题．(3)解决给值求角问题．3．本节课的易错点是：利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误．当堂达标固双基1．cos15°＝()A．cos45°cos30°－sin45°sin30°B．cos45°cos30°＋sin45°sin30°C．cos45°sin30°＋sin45°cos30°D．cos45°sin30°－sin45°cos30°B[cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°.]2．cos105°＋sin195°＝________.2－62[cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(105°＋90°)＝cos105°＋cos105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°)＝2－22×32＋22×12＝2－62.]3．若sinα＝35，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为________．－210[∵α∈π2，π，sinα＝35，∴cosα＝－45.∴cosπ4－α＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22×－45＋22×35＝－210.]4．化简：2cos10°－sin20°cos20°.[解]原式＝2cos30°－20°－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°cos20°＝3.