2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方

第三章空间向量与立体几何3．2空间向量在立体几何中的应用3．2.1直线的方向向量与直线的向量方程学习目标核心素养1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．(重点)2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行．(难点、易混点)3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角．(难点)1.通过学习直线的方向向量及方向方程等概念，培养学生的数学抽象素养.2.利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升学生的逻辑推理素养.自主预习探新知1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有AP→＝ta或OP→＝或OP→＝(AB→＝a)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量a称为该直线的方向向量．(2)线段AB的中点M的向量表达式OM→＝．12(OA→＋OB→)(1－t)OA→＋tOB→OA→＋ta向量参数方程．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔.(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝.(3)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔.v1∥β且v2∥βxv1＋yv2v1∥v23．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔，cosθ＝.|cos〈v1，v2〉|v1⊥v21．直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3,0,1)，v2＝(－1,0，m)，若l1∥l2，则m等于()A．1B．3C.13D．－13D[因为l1∥l2.所以存在实数λ，使v1＝λv2即(3,0,1)＝λ(－1,0，m)，∴－λ＝3λm＝1解得m＝－13.]2．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A．(2,2,6)B．(1,1,3)C．(3，l,1)D．(－3,0,1)B[AB→＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，故选B.]3．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是________．垂直[因为v1·v2＝(－1,1,2)·(2,0,1)＝－2＋2＝0，所以v1⊥v2.]合作探究提素养空间中点的位置确定【例1】已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)．(1)若OP→＝12(AB→－AC→)，求P点的坐标；(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．[思路探究](1)由条件先求出AB→，AC→的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标．(2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算．[解](1)AB→＝(－1,1,5)，AC→＝(－3，－1,5)．OP→＝12(AB→－AC→)＝12(2,2,0)＝(1,1,0)．∴P点的坐标为(1,1,0)．(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知AP→＝12PB→.设点P的坐标为(x，y，z)，则AP→＝(x－3，y－4，z)，PB→＝(2－x,5－y,5－z)，故(x－3，y－4，z)＝12(2－x,5－y,5－z)，即x－3＝122－xy－4＝125－y，z＝125－z得x＝83y＝133.z＝53因此P点的坐标为83，133，53.此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可.1．已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以AB→的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1.求点P和点Q的坐标．[解]由已知，得PB→＝2AP→，即OB→－OP→＝2(OP→－OA→)，OP→＝23OA→＋13OB→.设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，即x＝43＋13＝53，y＝83＋33＝113，z＝0＋1＝1.因此，P点的坐标是53，113，1.因为AQ∶QB＝2∶1，所以AQ→＝－2QB→，OQ→－OA→＝－2(OB→－OQ→)，OQ→＝－OA→＋2OB→，设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q点的坐标是(0,2,6)．综上，P点的坐标是53，113，1，Q点的坐标是(0,2,6).利用向量法求异面直线的夹角【例2】(1)直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22(2)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．[思路探究](1)建立空间直角坐标系，表示出BM→，AN→的坐标，利用向量法求解；(2)以A为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量AF→，EM→的坐标，建立函数关系式讨论最值．(1)C(2)25[(1)以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，∴AN→＝(－1,0，－2)，BM→＝(1，－1，－2)，∴cos〈AN→，BM→〉＝AN→·BM→|AN→||BM→|＝－1＋45×6＝330＝3010.(2)以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为2，M(0，y,2)(0≤y≤2)，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2，1,0)，∴EM→＝(－1，y,2)，|EM→|＝y2＋5，AF→＝(2,1,0)，|AF→|＝5，∴cosθ＝|EM→·AF→||EM→||AF→|＝|y－2|5·y2＋5＝2－y5·y2＋5.令t＝2－y，要使cosθ最大，显然0t≤2.∴cosθ＝15×t9－4t＋t2＝15×13t－232＋59≤15×132－232＋59＝15×25＝25.当且仅当t＝2，即点M与点Q重合时，cosθ取得最大值25.]利用向量求异面直线所成角的步骤1确定空间两条直线的方向向量；2求两个向量夹角的余弦值；3确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角.提醒：两异面直线夹角范围为0，π2，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键.2．如图所示，已知正四棱锥P­ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值．[解]如图，以O为原点，过O点平行于AB、BC的直线为x轴、y轴，PO为z轴建立空间直角坐标系．由已知得A－a2，－a2，0，Ba2，－a2，0，E－a4，a4，a2，F－a4，－a4，a2，所以AE→＝a4，3a4，a2，BF→＝－3a4，a4，a2，所以cos〈AE→，BF→〉＝AE→·BF→|AE→|·|BF→|＝－3a216＋3a216＋a24a216＋9a216＋a24·9a216＋a216＋a24＝27.所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为27.利用空间向量处理平行问题[探究问题]1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？[提示](1)非零性：直线的方向向量是非零向量．(2)不唯一性：直线l的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.(3)给定空间中的任一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．2．两条平行直线的方向向量有什么关系？[提示]设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb.【例3】(1)已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________．(2)如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE.(1)－3[AB→＝(1,0，－1)，AC→＝(0,1，－1)．因为l∥平面ABC，所以存在实数λ，μ，使a＝λAB→＋μAC→，即(2，m,1)＝λ(1,0，－1)＋μ(0,1，－1)．∴λ＝2，m＝μ，－λ－μ＝1，解得m＝－3.](2)[证明]如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)．所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1)，因为DA⊂平面ADE，AE⊂平面ADE，且(0,2,1)＝0×(2,0,0)＋1×(0,2,1)，即FC1→＝0×DA→＋1×AE→，所以有FC1⊂平面ADE或FC1∥平面ADE，又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.1．(改变问法)本例3中若G，H分别为AD，B1C1的中点．试求证EG∥FH.[证明]如图所示，建立空间直角坐标系．则E(2,2,1)，G(1,0,0)，F(0,0,1)，H(1,2,2)．所以EG→＝(－1，－2，－1)，FH→＝(1,2,1)．所以FH→＝－EG→，所以FH→∥EG→.显然EG与FH不重合，故EG∥FH.2．(改变问法)本例3条件不变，改为求平面ADE∥平面B1C1F.[证明]如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，D(0，0,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，得DE→(2,2,1)，FB1→＝(2,2,1)，DA→＝(2,0,0)，B1C1→＝(－2,0,0)，所以DE→＝FB1→，DA→＝－B1C1→，又相互不共面，所以DE∥FB1，DA∥B1C1，又DA∩DE＝D，FB1∩B1C1＝B1，所以平面ADE∥平面B1C1F.1证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行.2用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内.3利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行.提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.当堂达标固双基1．思考辨析(1)直线l的方向向量是唯一的．()(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．()(3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．()[提示](1)×与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量．(2)√(3)×k≠0.2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)A[AB→＝(1,4,7)－(－1,0,1)＝(2,4,6)＝2(1,2,3)，故选A.]3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1