2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算学习目标核心素养1．理解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.自主预习探新知1．空间向量(1)定义：在空间，具有和的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为或．有向线段大小方向大小|AB→|AB→|a|2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量__________单位向量任意__相反向量_____相等a的相反向量：______AB→的相反向量：___相等向量相同____a＝b任意001相反－aBA→相等3.向量的加法、减法加法OB→＝________＝a＋b空间向量的运算减法CA→＝________＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝_______(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________OA→＋OC→OA→－OC→b＋aa＋(b＋c)4.空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个，称为向量的数乘运算．当λ0时，λa与向量a方向；当λ0时，λa与向量a方向；当λ＝0时，λa＝；λa的长度是a的长度的倍．(2)运算律：①λ(a＋b)＝；②λ(μa)＝．(λμ)aλa向量相同相反0|λ|λa＋λb5．共线向量和共面向量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使．③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使OP→＝．共线向量互相平行或重合a＝λbOA→＋tAB→(2)共面向量①定义：平行于的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使．③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)使AP→＝或对空间任意一点O，有OP→＝．同一个平面p＝xa＋ybxAB→＋yAC→OA→＋xAB→＋yAC→思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP→＝13OA→＋13OB→＋13OC→，则点P与点A，B，C是否共面？[提示](1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP→＝13OA→＋13OB→＋13OC→得OP→－OA→＝13(OB→－OA→)＋13(OC→－OA→)即AP→＝13AB→＋13AC→，因此点P与点A，B，C共面．1．如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个D[共四条：AB，A1B1，CD，C1D1.]2．已知空间四边形ABCD中，AB→＝a，CB→＝b，AD→＝c，则CD→＝()A．a＋b－cB．－a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－cC[CD→＝CB→＋BA→＋AD→＝CB→－AB→＋AD→＝－a＋b＋c.]3．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则AB→＋12BC→－32DE→－AD→化简的结果为________．0[延长DE交边BC于点F，则有AB→＋12BC→＝AF→，32DE→＋AD→＝AD→＋DF→＝AF→，故AB→＋12BC→－32DE→－AD→＝0.]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简向量表达式AB→－CD→＋BC→－DA→的结果为________．2AC→[AB→－CD→＋BC→－DA→＝(AB→＋BC→)－(CD→＋DA→)＝AC→－CA→＝2AC→.]合作探究提素养空间向量的有关概念【例1】(1)给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC→＝A1C1→；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量AA′→相等的向量有________；与向量A′B′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④(2)BB′→，CC′→，DD′→B′A′→，BA→，CD→，C′D′→[(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC→＝A1C1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．](2)根据相等向量的定义知，与向量AA′→相等的向量有BB′→，CC′→，DD′→.与向量A′B′→相反的向量有B′A′→，BA→，CD→，C′D′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．1．如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB→相等的所有向量；(2)试写出AA1→的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1→的模．[解](1)与向量AB→相等的向量有A1B1→，DC→，，D1C1→，共3个；(2)向量AA1→的相反向量为A1A→，B1B→，C1C→，D1D→，共4个；(3)|AC1→|2＝22＋22＋12＝9，所以|AC1→|＝3.空间向量的线性运算【例2】(1)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1→的有()①(AB→＋BC→)＋CC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→；④(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：①AP→；②A1N→；③MP→＋NC1→.思路探究：(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解．(1)D[对于①，(AB→＋BC→)＋CC1→＝AC→＋CC1→＝AC1→，对于②，(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→＝AD1→＋D1C1→＝AC1→，对于③，(AB→＋BB1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→，对于④，(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→.](2)解：①∵点P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝AA1→＋AD→＋12AB→＝a＋c＋12b，②∵点N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－AA1→＋AB→＋12AD→＝－a＋b＋12c，③∵点M是AA1的中点，∴MP→＋NC1→＝MA1→＋A1D1→＋D1P→＋NC→＋CC1→＝12a＋c＋12b＋12c＋a＝32a＋12b＋32c.1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用a，b，c表示向量OG→.[解]OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(MA→＋AB→＋BN→)＝12OA→＋2312OA→＋OB→－OA→＋12BC→＝12OA→＋23OB→－12OA→＋12（OC→－OB→）＝16OA→＋13OB→＋13OC→＝16a＋13b＋13c.共线问题【例3】(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB→＝e1＋ke2，BC→＝5e1＋4e2，DC→＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________．(2)如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O＝23A1C→，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．思路探究：(1)根据向量共线的充要条件求解．(2)用向量AB→，AD→，AA1→分别表示MO→和MC1→.(1)1[AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.设AD→＝λAB→，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以λ＝7λk＝k＋6，解得k＝1.](2)解：设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则MO→＝MC→＋CO→＝12AC→＋13CA1→＝12(AB→＋AD→)＋13(CA→＋AA1→)＝12AB→＋12AD→＋13(CB→＋CD→＋AA1→)＝12AB→＋12AD→－13AD→－13AB→＋13AA1→＝16AB→＋16AD→＋13AA1→＝16a＋16b＋13c，MC1→＝MC→＋CC1→＝12AC→＋AA1→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→，＝12a＋12b＋c，∴MC1→＝3MO→，又直线MC1与直线MO有公共点M，∴C1，O，M三点共线．1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0)，则a∥b.(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.2.证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线.(1)存在实数λ，使PA→＝λPB→成立.(2)对空间任一点O，有OP→＝OA→＋tAB→（t∈R）.(3)对空间任一点O，有OP→＝xOA→＋yOB→（x＋y＝1）.3．(1)已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，DA[因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b所以AD→＝3AB→.又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．](2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E→＝2ED1→，F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线．[证明]设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，因为A1E→＝2ED1→，A1F→＝23FC→，所以A1E→＝23A1D1→，A1F→＝25A1C→，所以A1E→＝23AD→＝23b，A1F→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c，所以EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25a－23b－c.又EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a