2019-2020学年高中数学 第3章 概率章末复习课课件 新人教B版必修3

第三章概率章末复习课体系构建题型探究随机事件的概率【例1】对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率ba(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？[思路探究]结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率．[解](1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．随机事件的概率是指在相同的条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时，我们把这个常数叫做事件A的概率，记作PA.它反映的是这个事件发生的可能性的大小.一个随机事件的发生既有随机性对单次试验来说，又有规律性对大量重复试验来说.其概率一般不好求，但可以用频率来估计.1．某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？[解](1)由题意，击中靶心的频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．(4)不一定．互斥事件与对立事件的概率求法【例2】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？[思路探究]用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．[解]把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.总的事件数为20.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念.互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用.运用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，如果彼此互斥，分别求出各事件发生的概率，再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，运用互斥事件的概率加法公式PA∪B＝PA＋PB求解；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式PA＝1－PA求解.2．甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198，恰有2人过关(事件B)的概率为0.38，恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求：(1)至少有2人过关的概率P1；(2)至多有3人过关的概率P2.[解]由条件知，事件A、B、C、D彼此互斥．(1)P1＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.766.(2)P2＝P(D)＝1－P(D)＝1－0.084＝0.916.古典概型【例3】从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？[思路探究](1)“不放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少．(2)“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．[解](1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有基本事件共有6个，分别是(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则A包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．因为A中的基本事件的个数为4，所以P(A)＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，则所有的基本事件共有9个，分别是(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则B包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．因为B中的基本事件的个数为4，所以P(B)＝49.古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式PA＝mn时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n，m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则ba的概率是()A.45B.35C.25D．15D[∵当b＝1时，没有满足条件的a值；当b＝2时，a＝1；当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况．而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，∴ba的概率为315＝15.]几何概型【例4】如图所示，在半圆O内有一个内接正方形ABCD，若向该半圆内随机投一点，则这点落在正方形内的概率为多少？[思路探究]如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.[解]设圆的半径为R，正方形的边长为2x，因为正方形和半圆都是轴对称图形，故半圆的圆心也是正方形的一边的中点．得(2x)2＋x2＝R2.由5x2＝R2，得x＝55R.∴S正方形ABCD＝255R2＝45R2.∴P(A)＝S正方形ABCDS半圆＝45R212πR2＝85π.判断所给概型是否是几何概型要依据几何概型的定义和特征，把握好基本事件的总数是有限还是无限，每个事件出现的可能性是否相同等.4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则小蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.18B.116C.127D．38C[小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，所以“安全飞行”的概率为两者体积之比，即为127.]概率与统计的综合问题【例5】随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．[思路探究](1)根据“叶”上的数据的集中情况作出判断；(2)代入方差的计算公式求解；(3)列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解．[解](1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160cm～179cm之间，而乙班身高集中于170cm～179cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；(2)x＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)．甲班的样本方差s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．(3)设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P(A)＝410＝25.统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的.5．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．[解](1)由16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，得x6＝90，s＝16[70－752＋76－752＋72－752＋70－752＋72－752＋90－752]＝7.(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，其成绩的所有可能的结果为(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种．其中恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的结果为(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种．故恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为P＝410＝25.