2019-2020学年高中数学 第3章 概率 3-3-2 均匀随机数的产生课件 新人教A版必修3

概率第三章3.3几何概型3.3.2均匀随机数的产生课前自主预习1．了解均匀随机数的产生方法与意义．2．会用模拟试验求几何概型的概率．3．能利用模拟试验估计不规则图形的面积．1．均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是，则称这些实数为均匀随机数．2．均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的．(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性．等可能的相等3．均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand”．(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生．4．用模拟方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟法：做两个转盘模型，进行模拟实验，并统计试验效果，进行近似计算．(2)计算机模拟法：用Excel软件产生[0,1]上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤．1．计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数，若试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你用什么办法解决？[提示]首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X＝RAND，然后利用伸缩和平移变换：Y＝(b－a)X＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数.2．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值N1N是P(A)的精确值．()(2)用均匀随机数进行随机模拟不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积．()(3)用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．()[提示](1)×(2)√(3)√课堂互动探究题型一用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率【典例1】取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1m的概率．[思路导引]在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点的距离取遍[0,3]内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内，也就是剪得两段的长都不小于1m．这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内的随机数个数之比就是事件发生的频率．[解]解法一：设“剪得两段长都不小于1m”为事件A.①利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数a1＝RAND.②经过伸缩变换，a＝3a1.③统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N.④计算频率fn(A)＝N1N即为概率P(A)的近似值．解法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)＝N1N即为概率P(A)的近似值．用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND.(2)经过伸缩变换y＝(b－a)x＋a，得到一组[a，b]上的均匀随机数．(3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1.(4)计算频率fn(A)＝N1N，即为所求概率的近似值．[针对训练1]已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的试验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在49附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．[解析]设米粒落入△BCD内的频率为P1，米粒落入△BAD内的频率为P2，点C和点A到直线BD的距离分别为d1，d2，根据题意得，P2＝1－P1＝1－49＝59，又∵P1＝S△BCDS四边形ABCD＝12×BD×d1S四边形ABCD，P2＝S△BADS四边形ABCD＝12×BD×d2S四边形ABCD，∴P2P1＝d2d1＝54.[答案]54题型二与面积有关的几何概型【典例2】(1)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn(2)解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16m，宽为14m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为5m,2m,1m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．[思路导引]本典例为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置．[解析](1)设由0≤xn≤10≤yn≤1构成的正方形的面积为S，x2n＋y2n1构成的图形的面积为S′，所以S′S＝14π1＝mn，所以π＝4mn，故选C.(2)设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．①利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；②经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数；③统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7的点(a，b)的个数N.满足1＜a2＋b2＜4的点(a，b)的个数N1；④计算频率fn(A)＝N1N，即为所求概率的近似值．[答案](1)C(2)见解析引申探究：若本例(2)条件不变，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率？[解]设事件C表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”．①利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.②经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．③统计满足－8a8，－7b7的点(a，b)的个数N，满足a2＋b225的点(a，b)的个数N1.④计算频率fn(C)＝N1N，即为所求概率的近似值．用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的区别与联系(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数．(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比.[针对训练2]现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．[解]第一步，利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1、b1(共N组)；第二步，经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2；第三步，数出满足不等式b＜2a－43，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈N1N.可以发现，试验次数越多，概率P越接近25144.题型三用随机模拟法求解不规则图形的面积【典例3】(1)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．(2)利用随机模拟的方法计算曲线y＝2x与x轴，直线x＝±1所围成图形(如图中阴影部分)的面积．[思路导引]在坐标系中画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．[解析](1)正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S′，因为随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，所以由几何概型的概率公式进行估计得S′S＝1801000＝0.18，即S′＝0.18.故填0.18.(2)①利用计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；②进行伸缩和平移变换，a＝2a1－1，b＝2b1，分别得到[－1,1]和[0,2]上的均匀随机数；③统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1；④计算频率N1N，即点落在阴影部分的概率的近似值；⑤设阴影部分的面积为S，由几何概型的概率计算公式得点落在阴影部分的概率为S4.所以N1N≈S4，则S≈4N1N.此即阴影部分面积的近似值．[答案](1)0.18(2)见解析利用随机模拟方法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示．(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)＝N1N.(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有SS′＝N1N，解得S＝N1NS′，则所求图形面积的近似值为N1NS′.[针对训练3]利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x轴所围成的部分)的面积．[解](1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；(2)经过伸缩变换，a＝2a1，b＝8b1；(3)统计出试验总次数N和落在阴影部分(满足ba3)点(a，b)的个数N1；(4)计算频率N1N就是点落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影部分的面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S16.所以S16＝N1N，所以S≈16N1N即为阴影部分面积的近似值．课堂归纳小结1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.