2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.3 函数的最大(小)值与导数课件 新人

第三章导数及其应用3．3导数在研究函数中的应用3．3.3函数的最大(小)值与导数梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解函数最值的概念．2．了解函数的最值与极值的区别与联系．3．掌握求函数最值的方法步骤．‖知识梳理‖1．函数在闭区间上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定有_________________，并且函数的最值必在____________________取得．最大值和最小值极值点或区间端点2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在[a，b]内的_______．(2)将函数y＝f(x)的各极值与________________f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_______，______________________是最小值．极值端点处的函数值最大值最小的一个解剖难点探究提高重点难点突破1．最值与极值的区别与联系(1)最值是个整体概念，是整个定义域上的最大值和最小值，具有绝对性；而极值是个局部概念，是一些邻近点之间函数值大小的比较，具有相对性．(2)函数在一个闭区间[a，b]上连续，则一定存在最大值和最小值，且各有一个，具有唯一性．而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有．(3)极值只能在区间内部取得，而最值可以在区间端点取得，有极值不一定有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．(4)若函数的图象是连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数为零的点，且在这一点取得极值，则这点一定是函数的最值点．2．求最值的方法利用导数法求最值，就是解方程f′(x)＝0，得到方程的根x1，x2，…，直接求得f(x1)，f(x2)，…，然后与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程．当求开区间上的最值时，则导数法与函数的单调性相结合．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求函数的最值求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在[0,2]上的最大值和最小值．【思路探索】先求f(x)＝ln(1＋x)－14x2在[0,2]上的极值，再求区间端点的函数值，然后进行比较，确定函数的最大值和最小值．【解】∵f′(x)＝11＋x－12x＝－x2－x＋221＋x，令f′(x)＝0，得x2＋x－2＝0.解得x1＝－2(舍去)或x＝1.当0x1时，f′(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以f(1)＝ln2－14为f(x)的极大值．又f(0)＝0，f(2)＝ln3－1，而ln3－10.所以f(0)f(2)，所以f(x)＝ln(1＋x)－14x2在[0,2]上的最大值为f(1)＝ln2－14，最小值为f(0)＝0.[名师点拨]求函数的最大值和最小值，首先确定函数的极大值和极小值，再与区间端点的函数值进行比较，从而确定最大值和最小值．如果仅是求最值，可将导数为零的点及端点的函数值求出并进行比较，从而确定最值.已知函数f(x)＝12x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝23x3的图象的下方．解：(1)∵f(x)＝12x2＋lnx，(x0)∴f′(x)＝x＋1x，∵x0，∴f′(x)0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴在[1，e]上是增函数，∴当x＝1时，f(x)取最小值为12，当x＝e时，f(x)取最大值为e22＋1.(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋lnx－23x3，∴F′(x)＝－2x2＋x＋1x＝1x(－2x3＋x2＋1)．设h(x)＝－2x3＋x2＋1，则h′(x)＝－6x2＋2x＝－6x－162＋16.当x∈[1，＋∞)时，h′(x)0，h(x)是减函数，∴h(x)h(1)＝0，∴当x∈[1，＋∞)时，F′(x)＝1x(－2x3＋x2＋1)0，即在[1，＋∞)上，F(x)＝12x2＋lnx－23x3是减函数，∴F(x)f(1)－g(1)＝－160，∴函数F(x)在[1，＋∞)上小于0恒成立，即函数f(x)的图象在函数g(x)的图象下方．题型二含参数的最值问题已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【思路探索】(1)求f′(x)＝0的根，判断各分区间内的f′(x)的符号即可；(2)讨论f′(x)＝0的根与区间[0,1]的关系，确定f(x)在[0,1]上的单调性，进而求最小值．【解】(1)∵f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1∴f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)由(1)得，当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时，由(1)知，f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上知，当k≤1时，f(x)在区间[0,1]上的最小值为－k；当1k2时，f(x)在区间[0,1]上的最小值为－ek－1；当k≥2时，f(x)在区间[0,1]上的最小值为(1－k)e.[名师点拨]求解含参数的最值问题，是高考常考题型．其一般方法步骤是：求导f′(x)―→解方程f′(x)＝0―→根据参数的取值范围讨论求最值.函数f(x)＝x3－3x2＋m在区间[－1,1]上的最大值是2，则实数m＝()A．－2B．0C．2D．4解析：∵f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当－1x0时，f′(x)0，f(x)为增函数；当0x1时，f′(x)0，f(x)为减函数．∴当x＝0时，f(x)有最大值，即f(0)＝m＝2，故选C.答案：C题型三最值的应用(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0a3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．【思路探索】(1)先求f′(x)，再对a分类讨论，判断f′(x)的符号，确立f(x)的单调性．(2)由(1)确定函数f(x)的单调性，比较区间端点处函数值的大小，最后结合分类讨论思想求解．【解】(1)∵f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a3.若a0，则当x∈(－∞，0)∪a3，＋∞时，f′(x)0；当x∈0，a3时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，0)，a3，＋∞上单调递增，在0，a3上单调递减；若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；若a0，则当x∈－∞，a3∪(0，＋∞)时，f′(x)0；当x∈a3，0时，f′(x)0.故f(x)在－∞，a3，(0，＋∞)上单调递增，在a3，0上单调递减．(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在0，a3上单调递减，在a3，1上单调递增，所以f(x)在[0,1]的最小值为fa3＝－a327＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.于是m＝－a327＋2，M＝4－a，0a2，2，2≤a3.所以M－m＝2－a＋a327，0a2，a327，2≤a3.当0a2时，求导可知2－a＋a327单调递减，所以M－m的取值范围是827，2.当2≤a3时，a327上单调递增，所以M－m的取值范围是827，1.综上，M－m的取值范围是827，2.[名师点拨]利用导数研究函数的最值时，主要是通过比较极值点处的函数值与区间端点处的函数值的大小来确定.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1x.由题设知f′(2)＝0，即ae2－12＝0，所以a＝12e2.从而f(x)＝12e2ex－lnx－1，f′(x)＝12e2ex－1x.当0x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥exe－lnx－1.设g(x)＝exe－lnx－1，则g′(x)＝exe－1x.当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥1e时，f(x)≥0.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·运城月考)函数f(x)＝3x－4x3，x∈[0,1]的最大值是()A．1B．12C．0D．－1解析：∵f′(x)＝3－12x2＝3(1－2x)(1＋2x)，令f′(x)＝0，得x＝12或x＝－12，∴当x∈0，12时，f′(x)0，f(x)为增函数；当x∈12，1时，f′(x)0，f(x)为减函数，∴当x＝12时，f(x)有最大值，f12＝3×12－4×123＝1，故选A.答案：A2．设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()A．f(x)的极值点一定是最值点B．f(x)的最值点一定是极值点C．f(x)在此区间上可能没有极值点D．f(x)在此区间上可能没有最值点解析：根据函数的极值与最值的概念判断知A、B、D均不正确，C正确．答案：C3．已知函数f(x)，g(x)的图象均为[a，b]上连续不断的曲线，且在(a，b)上f′(x)g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)0，所以F(x)在[a，b]上是减函数，故最大值为F(a)＝f(a)－g(a)，即f(x)－g(x)的最大值为f(a)－g(a)．答案：A4．(2019·吉林白山期末)函数f(x)＝lnxx在(0，e2]上的最大值是________．解析：∵函数f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝1－lnxx2，令f′(x)＝0，解得x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)0，f(x)为增函数；当x∈(e，e2]时，f′(x)0，f(x)为减函数，∴当x＝e时，f(x)有最大值，f(e)＝1e.答案：1e5．已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx(a，b∈R)在x＝－3处取得极大值为9.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间[－3,3]上的最值．解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax＋b，依题意，得f′－3＝0，f－3＝9，即9－6a＋b＝0，－9＋9a－3b＝9，解得a＝1，b＝－3，经检验成立．(2)由(1)得，f(x)＝13x3＋x2－3x，∴f′(x)＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)．令f′(x)0，得x－3或x1；令f′(x)0，得－3x1.∴f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)和(－∞，－3)，f(x)的单调递减区间是(－3,1)．∴当x∈[－3,3]时，f(x)极小值＝f(1)＝－53，又f(3)＝9，∴f(x)极大值＝f(－3)＝9.∴函数f(x)在区间[－3,3]上的最大值为9，最小值为－53.