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第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学习目标核心素养1.能根据定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.(重点、难点)通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习,提升学生的数学运算素养.自主预习探新知1.常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)=Cf′(x)=__f(x)=xf′(x)=__f(x)=x2f′(x)=____f(x)=1xf′(x)=-1x2012x2.基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)=__f(x)=xuf′(x)=__________(x>0,u≠0)f(x)=sinxf′(x)=__________f(x)=cosxf′(x)=____________0uxu-1cosx-sinxf(x)=axf′(x)=____________(a>0,a≠1)f(x)=exf′(x)=____f(x)=logaxf′(x)=______(a>0,a≠1,x>0)f(x)=lnxf′(x)=__axlnaex1xlna1x1.下列结论:①(sinx)′=cosx;②(x53)′=x23;③(log3x)′=13lnx;④(lnx)′=1x.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个C[∵②(x53)′=53x23;③(log3x)=1xln3;∴②③错误,故选C.]2.若函数f(x)=x,则f′(1)等于()A.0B.-12C.12D.1C[∵f′(x)=(x)′=(x12)′=12x12-1=12x,∴f′(1)=12,故选C.]3.曲线y=sinx在π4,22处的切线方程为________.42x-8y+2(4-π)=0[∵k=(sinx)′|x=π4=cosπ4=22,∴切线方程为y-22=22x-π4,即42x-8y+2(4-π)=0.]合作探究提素养利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数.(1)y=x12;(2)y=1x4;(3)y=5x3;(4)y=2sinx2cosx2;(5)y=log12x.[思路探究]先将解析式化为基本初等函数的形式,再利用公式求导.[解](1)y′=(x12)′=12x12-1=12x11.(2)y′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5=-4x5.(3)y′=(5x3)′=(x35)′=35x35-1=35x-25=355x2.(4)∵y=2sinx2cosx2=sinx,∴y′=cosx.(5)y′=(log12x)′=1xln12=-1xln2.用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.提醒:若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式,需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用[探究问题]1.若y=c,y=x和y=x2都表示路程关于时间的函数,则其导数的物理意义是什么?提示:若y=c表示路程关于时间的函数,则y′=0可以解释为某物体的速度始终为0,即物体一直处于静止状态;若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动;若y=x2表示路程关于时间的函数,则y′=2x可以解释为某物体做变速运动,它在x时刻的瞬时速度为2x.2.指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点?[提示](1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数,y=ex的导数是y=ax(a0,a≠1)导数的特例.(2)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数,y=lnx的导数是y=logax(a>0,a≠1,x>0)导数的特例.【例2】已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上两点,是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程;若没有,说明理由.[思路探究]先求导数,再根据导数的几何意义求解.[解]因为y′=(x2)′=2x,假设存在与直线PQ垂直的切线.设切点坐标为(x0,y0),由PQ的斜率为k=4-12+1=1,又切线与PQ垂直,所以2x0=-1,即x0=-12,所以切点坐标为-12,14.所以所求切线方程为y-14=(-1)x+12,即4x+4y+1=0.1.(变结论)若本例条件不变,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.[解]因为y′=(x2)′=2x,设切点为M(x0,y0),则y′|x=x0=2x0.又因为PQ的斜率为k=4-12+1=1,而切线平行于PQ,所以k=2x0=1,即x0=12.所以切点为M12,14,所以所求切线方程为y-14=x-12,即4x-4y-1=0.2.(变条件)若函数改为y=lnx,试求与直线PQ平行的切线方程.[解]设切点为(a,b),因为kPQ=1,则由f′(a)=1a=1,得a=1,故b=ln1=0,则与直线PQ平行的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用:1切点处的导数是切线的斜率.2切点在切线上.3切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.当堂达标固双基1.思考辨析(1)若函数f(x)=log2π,则f′(x)=1πln2.()(2)若函数f(x)=3x,则f′(x)=x·3x-1.()(3)若函数f(x)=4x,则f′(x)=4x2.()[提示](1)×π为常数.(2)×f′(x)=3xln3.(3)×f′(x)=-4x2.2.函数f(x)=x,则f′(3)等于()A.36B.0C.12xD.32A[∵f′(x)=12x,∴f′(3)=123=36.]3.设函数f(x)=logax,f′(1)=-1,则a=________.1e[∵f′(x)=1xlna,∴f′(1)=1lna=-1,∴a=1e.]4.过曲线y=sinx上的点Pπ6,12的切线方程为________.63x-12y-3π+6=0[曲线y=sinx在点Pπ6,12处的切线斜率为k=y′|x=π6=cosπ6=32.所以切线方程为y-12=32x-π6,即63x-12y-3π+6=0.]5.求下列函数的导数:(1)y=cosπ6;(2)y=1x5;(3)y=x2x;(4)y=lgx;(5)y=5x;(6)y=cosπ2-x.[解](1)y′=0.(2)∵y=1x5=x-5,∴y′=(x-5)′=-5x-6=-5x6.(3)∵y=x2x=x32.∵y′=(x32)′=32x12=32x.(4)y′=1xln10.(5)y′=5xln5.(6)∵y=cosπ2-x=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导
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