2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.4.2 简单线性规划课件 北师大版必修5

第1页4．2简单线性规划第2页要点线性规划中的基本概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y的二元一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题第3页1．准确理解线性规划的有关概念．第4页答：(1)线性约束条件包括两点：一是关于变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作出严格的限定；一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的平面区域(或其内部一些点)，可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域．第5页2．最优解一定唯一吗？答：不一定．第6页3．最优解一定在可行域的边界上取得吗？答：不一定．最优解一般在可行域的边界上取得，但有时也在区域内取得(尤其是整点为最优解时)．第7页4．在线性目标函数z＝x＋y和z＝x－y中，目标函数z的几何意义分别是什么？答：分别表示直线的纵截距及纵截距的相反数．第8页授人以渔第9页题型一线性目标函数的最值例1已知x，y满足x－2y＋7≥0，4x－3y－12≤0，x＋2y－3≥0.(1)求z＝x＋y的最大值和最小值；(2)求z＝x－y的最大值和最小值．第10页【解析】已知不等式组为x－2y＋7≥0，4x－3y－12≤0，x＋2y－3≥0，在同一坐标系中，作直线x－2y＋7＝0，4x－3y－12＝0和x＋2y－3＝0，再根据不等式组确定可行域△ABC，如图．第11页由x－2y＋7＝0，4x－3y－12＝0，得A(9，8)．由x－2y＋7＝0，x＋2y－3＝0，得B(－2，52)．由x＋2y－3＝0，4x－3y－12＝0，得C(3，0)．第12页(1)y＝－x＋z，z相当于直线y＝－x＋z的纵截距．作直线l0：x＋y＝0，当l0平移过点B时z有最小值，且zmin＝12，当l0平移过点A时z有最大值，且zmax＝17.第13页(2)y＝x－z，z相当于直线y＝x－z的纵截距的相反数，作直线l1：x－y＝0，当l1平移过B点时，直线y＝x－z的纵截距最大，此时z最小，且zmin＝－92.当l1平移过C点时，纵截距最小，此时z最大，且zmax＝3.第14页探究1(1)利用线性规划解题时，应严格分清直线的倾斜角度，根据线性目标函数的斜率与约束条件中直线的斜率的大小，正确画出图形，利用图形求解．(2)解线性规划问题的一般步骤是：第一，由线性约束条件画出可行域；第二，令目标函数中的z为0得直线l0，平移l0；第三，求出最优解；第四，把最优解代入目标函数，求出z的最值作答．第15页●思考题1(1)(2014·天津)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．5第16页【解析】画出可行域，不难发现在点A(1，1)处目标函数z＝x＋2y有最小值zmin＝3.选B.【答案】B第17页(2)(2013·新课标全国Ⅱ)设x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，x≤3.则z＝2x－3y的最小值是()A．－7B．－6C．－5D．－3第18页【解析】如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为y＝23x－z3，先画出l0：y＝23x，当z最小时，直线在y轴上的截距最大，故最优点为图中的点C，由x＝3，x－y＋1＝0，可得C(3，4)，代入目标函数，得zmin＝2×3－3×4＝－6.【答案】B第19页例2(1)(2013·浙江)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x≥2，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0，若z的最大值为12，则实数k＝________．第20页【解析】(1)作出可行域．考虑z＝kx＋y，将它变形为y＝－kx＋z，这是斜率为－k，随z变化的一组平行直线，z是直线在y轴上的截距．结合图形可知，当－k≤0时，直线y＝－kx＋z过点A(4，4)时，z取最大值12，即4k＋4＝12，所以k＝2.【答案】2第21页(2)设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．第22页【解析】作出可行域．把目标函数化为y＝－15x＋z5，显然只有y＝－15x＋z5在y轴上的截距最大时z值最大，根据图形，目标函数在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，第23页得A(11＋m，m1＋m)，代入目标函数，即11＋m＋5m1＋m＝4，解得m＝3.第24页探究2求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．第25页●思考题2(2013·新课标全国)已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥a（x－3），若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2第26页【解析】画出可行域如图所示：当目标函数z＝2x＋y表示的直线经过点A时，z取得最小值，而点A的坐标为(1，－2a)，所以2－2a＝1，解得a＝12，故选B.【答案】B第27页题型二非线性目标函数的最值例3已知实数x，y满足2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0.(1)求ω＝x2＋y2的最大值和最小值；(2)求t＝y＋1x＋1的最大值、最小值．第28页【思路分析】ω＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2.t＝y＋1x＋1＝y－（－1）x－（－1），根据式子的结构联想几何意义．第29页【解析】画出不等式组2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0表示的平面区域，如图为△ABC包括边界及其内部．第30页(1)因为ω＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，表示的是可行域内的动点M(x，y)到原点距离的平方，可知当点M在边AC上滑动，且OM⊥AC时，ω取得最小值，于是ωmin＝d2＝(|0＋0－2|22＋12)2＝45；当点M滑到与点B(2，3)重合时，ω取得最大值，即ωmax＝(（2－0）2＋（3－0）2)2＝13.故ωmin＝45，ωmax＝13.第31页(2)因为t＝y＋1x＋1＝y－（－1）x－（－1）是可行域内的动点M(x，y)与定点P(－1，－1)连线的斜率，如图过定点P的动直线l扫过可行域△ABC时，可以看到直线PA的斜率最小，直线PC的斜率最大．kPA＝0＋11＋1＝12，kPC＝2＋10＋1＝3，故知t的最大值为3，最小值为12.第32页探究3非线性目标函数的最值，一定要联想其表达式所代表的几何意义，如距离、斜率等．第33页●思考题3(1)已知x，y满足x＋2y－5≤0，x≥1，x＋2y－3≥0.则yx的最大值是________．第34页【解析】考虑yx的几何意义．【答案】2第35页(2)若实数x，y满足x＋3y－3≤0，x≥0，y≥0.则不等式组表示区域的面积为________，z＝y＋2x－1的取值范围是________．第36页【解析】如右图所示，不等式组表示区域面积为12×1×3＝32，z＝y＋2x－1理解为区域上的点P(x，y)与点Q(1，－2)连线所在直线斜率的变化范围，kAQ＝0＋23－1＝1，kOQ＝2－1＝－2，结合图形分析知z＝y＋2x－1的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．第37页【答案】32；(－∞，－2]∪[1，＋∞)第38页课后巩固第39页1．在约束条件x－y－1≤0，x＋y≤1，x≥0下，目标函数z＝10x＋y的最优解是()A．(0，1)，(1，0)B．(0，1)，(0，－1)C．(0，－1)，(0，0)D．(0，－1)，(1，0)答案D第40页2．(2015·衡水调研卷)已知实数x，y满足不等式组x－y≤0，x＋y≥0，y≤a，若z＝x＋2y的最大值为3，则a的值为()A．1B．2C．3D．4答案A第41页3．(2014·广东)若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()A．5B．6C．7D．8第42页答案B解析用图解法求出线性目标函数的最大值和最小值，再作差求解．画出可行域，如图阴影部分所示．第43页由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由y＝x，y＝－1，得x＝－1，y＝－1.∴A(－1，－1)．由x＋y＝1，y＝－1，得x＝2，y＝－1，∴B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.第44页4．已知变量x，y满足条件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，设z＝2x＋y，取点(3，2)可求得z＝8，取点(5，2)可求得zmax＝12，取点(1，1)可求得zmin＝3，取点(0，0)可求得z＝0，点(3，2)叫做________，点(0，0)叫做________，点(5，2)和点(1，1)均叫做________．第45页答案可行解非可行解最优解第46页5．已知不等式组y≤x，y≥－x，x≤a，表示的平面区域的面积是4，点P(x，y)在所给平面区域内，求z＝2x＋y的最大值．第47页解析画出不等式组表示的平面区域，如图所示，第48页易知A(a，a)，B(a，－a)(a0)，因为S△OAB＝12|2a|·|a|＝a2＝4，所以a＝2，由线性规划的知识可得，当直线经过点A(2，2)时，z有最大值，且zmax＝2×2＋2＝6.第49页