2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 利用简单的

3.3.2简单的线性规划问题第一课时利用简单的线性规划求最值登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．知识点|线性规划的有关概念阅读教材P87～P88，完成下列问题．‖知识梳理‖线性规划的有关概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件由x，y的1_____________不等式(或方程)组成的不等式组二元一次名称意义目标函数欲求2_____________或3_____________所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数关于x，y的二元一次解析式可行解满足4_____________的解(x，y)可行域所有5_____________组成的集合最优解使目标函数取得6_____________或7_____________的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题最大值最小值线性约束条件可行解最大值最小值‖思考辨析‖判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域．()(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．()(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．()(4)线性规划问题一定存在最优解．()解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×‖小试身手‖1．已知变量x，y满足约束条件x＋y≤1，x－y≤1，x＋1≥0，则z＝x＋2y的最小值为()A．3B．1C．－5D．－6解析：选C由约束条件作出可行域如图：由z＝x＋2y得，y＝－12x＋z2，z2的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－12x＋z2过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C.2．若x≥0，y≥0，x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为()A．－1B．1C．2D．－2解析：选B根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组x＋y＝1，y＝0，得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得z＝1.故选B.剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一求线性目标函数的最值【例1】(1)(2019·武汉市模拟)若实数x，y满足约束条件x≥0，y≥0，2x＋y≤2，则z＝x－2y的最大值是()A．2B．1C．0D．－4(2)设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是()A．[－3,0]B．[－3,2]C．[0,2]D．[0,3][解析](1)不等式组x≥0，y≥0，2x＋y≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x－2y＝0，平移该直线，当直线经过点A(1，0)时，z取得最大值，此时zmax＝1，故选B.(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．故选B.[答案](1)B(2)B[方法总结]解决简单的线性规划问题的方法和步骤(1)画：画出可行域；(2)变：把目标函数变形为斜截式方程，从纵截距的角度寻找最优解；(3)求：解方程组求出最优解；(4)答：写出目标函数的最值.1．设x，y满足约束条件x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0，则z＝3x－2y的最小值为_____________．解析：出不等式组x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝32x－z2过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由x＋2y＝1，2x＋y＝－1，解得x＝－1，y＝1.即A(－1,1)．所以zmin＝－5.答案：－5题型二非线性目标函数最值问题多维探究非线性目标函数最值问题，常见的角度有：1．距离型最值．2．斜率型最值．角度1距离型最值【例2】(2018·安庆模拟)若实数x，y满足：|x|≤y≤1，则x2＋y2＋2x的最小值为()A.12B．－12C.22D．22－1[解析]作出不等式|x|≤y≤1表示的可行域如图中阴影部分所示．x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1，(x＋1)2＋y2表示可行域内的点(x，y)到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x＋1)2＋y2的最小值为点(－1,0)到直线y＝－x的距离的平方，即为222＝12，所以x2＋y2＋2x的最小值为12－1＝－12.[答案]B角度2斜率型最值【例3】(2019·黄冈质检)设实数x，y满足y≤2x＋2，x＋y－2≥0，x≤2，则y－1x＋3的取值范围是()A.15，1B．－15，1C.－1，－15D．－1，15[解析]由约束条件y≤2x＋2，x＋y－2≥0，x≤2作出可行域如图中阴影部分所示．易知A(2,0)，联立y＝2x＋2，x＝2，解得x＝2，y＝6，故B(2,6).y－1x＋3的几何意义为可行域内的点与点P(－3，1)连线的斜率．因为kPA＝1－0－3－2＝－15，kPB＝6－12＋3＝1，数形结合知y－1x＋3的取值范围是－15，1.[答案]B[方法总结]非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.2．(2019·安庆模拟)如果点P(x，y)在平面区域2x－y＋2≥0，x－2y＋1≤0，x＋y－2≤0内，则x2＋(y＋1)2的最大值和最小值分别是()A．3，35B．9，95C．9,2D．3，2解析：选B如图，先作出点P(x，y)所在的平面区域．x2＋(y＋1)2表示动点P到定点Q(0，－1)距离的平方．当点P在(－1,0)时，|PQ|2＝2，而点Q到直线x－2y＋1＝0的距离的平方为952；当点P在(0,2)时，离Q最远，|PQ|2＝9.因此x2＋(y＋1)2的最大值为9，最小值为95.故选B.3．(2018·石家庄模拟)动点P(a，b)在区域x＋y－2≤0，x－y≥0，y≥0内运动，则ω＝a＋b－3a－1的取值范围是_____________．解析：画出可行域如图，ω＝a＋b－3a－1＝1＋b－2a－1，设k＝b－2a－1，则k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以ω＝a＋b－3a－1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)题型三含参数的线性规划问题多维探究含参数的线性规划问题，常见的角度有：1．目标函数中含有参数的问题．2．约束条件中含有参数的问题．角度1目标函数中含有参数的问题【例4】(2018·石家庄质检)已知x，y满足约束条件x≥1，y≥－1，4x＋y≤9，x＋y≤3，若目标函数z＝y－mx(m0)的最大值为1，则m的值是()A．－209B．1C．2D．5[解析]作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由x＝1，x＋y＝3，解得x＝1，y＝2，即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.[答案]B角度2约束条件中含有参数的问题【例5】已知a0，实数x，y满足x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝_____________.[解析]根据题意，如图，在坐标系中画出相应的区域的边界线x＝1，x＋y＝3，再画出目标函数取得最小值时对应的直线2x＋y＝1，从图中可以发现，直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点为A(1，－1)，从而有点A(1，－1)在直线y＝a(x－3)上，代入可得a＝12.[答案]12[方法总结]求约束条件或目标函数中的参数的问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义.4．已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0.若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A．3B．2C．－2D．－3解析：选B画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有a×2＋0＝4，解得a＝2.故选B.5．若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥k，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝_____________.解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.答案：－2知识归纳自我测评堂内归纳提升1．活用“2结论”(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——与y轴上的截距相关的数．2．掌握3类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－bx－a.3．把握4步骤用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．「自测检评」1．已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y－4≤0，y≥1，则z＝－2x＋y的最大值是()A．－1B．－2C．－5D．1解析：选A作出可行域，如图所示，当z＝－2x＋y经过点A时，z取得最大值，由x－y＝0，y＝1得A(1，1)，则zmax＝－2×1＋1＝－1.故选A.2．设x，y满足约束条件2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是()A．－15B．－9C．1D．9解析：选A解法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．z的几何意义为y＝－2x＋z的截距，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.解法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.故选A.3．若变量x，y满足约束条件x－y＋1≤0，y≤1，x－1，则(x－2)2＋y2的最小值为()A.322B．5C.92D．5解析：选D