2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.3.2 基本不等式（第二课时）课件 北师大版必修

第1页§3基本不等式(第二课时)第2页授人以渔第3页题型一单调性法求最值例1已知函数f(x)＝x＋ax(a0)．(1)证明：f(x)在区间(0，a]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数；(2)求f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值．第4页【解析】(1)设x2x10，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)＋(ax2－ax1)＝(x2－x1)＋a（x1－x2）x1x2＝(x2－x1)(1－ax1x2)＝（x2－x1）x1x2(x1x2－a)，当0x1x2≤a时，x1x2a.第5页∴f(x2)－f(x1)0，∴f(x2)f(x1)．故f(x)＝x＋ax(a0)在(0，a]上为减函数；当x2x1≥a时，x1x2a.∴f(x2)－f(x1)0，∴f(x2)f(x1)．故f(x)＝x＋ax(a0)在[a，＋∞)上为增函数．函数f(x)＝x＋ax(a0)的图像如图所示．第6页(2)由(1)可知f(x)在(0，＋∞)上的最小值f(x)min＝f(a)＝2a.第7页探究1利用基本不等式a＋b2≥ab(a，b均大于0)求最值(值域)时，必须具备“一正、二定、三相等”的条件．如果“相等”条件不具备就可能造成错解．为了解决这个问题，我们引进一个函数f(x)＝x＋ax(a0)，利用它的单调性来完善上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的补充．第8页●思考题1(1)函数y＝x2＋2＋1x2＋2的最小值是不是2？如不是，应为多少？第9页【答案】不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件：x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1，但此式不成立．应用单调性求解：设t＝x2＋2(t≥2)，则y＝t＋1t在[2，＋∞)上单调递增，∴最小值为2＋12＝322.第10页(2)求函数y＝sinx＋4sinx，x∈(0，π)的最小值．第11页【解析】令t＝sinx，∵x∈(0，π)，∴t∈(0，1]．由例1(1)知函数f(t)＝t＋4t在t∈(0，2]上是单调减函数，∴f(t)＝t＋4t在t∈(0，1]上也单调递减．∴f(t)≥f(1)＝5，故ymin＝5.第12页题型二利用基本不等式求代数式的最值例2(1)已知x0，y0，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．第13页【解析】∵x＋2y＝1，∴1x＋1y＝(1x＋1y)·(x＋2y)＝3＋xy＋2yx≥3＋2xy·2yx＝3＋22.当且仅当xy＝2yx，x＋2y＝1，即x＝2－1，y＝1－22时取等号．故1x＋1y的最小值为3＋22.第14页【思路分析】方法一：减少元素个数．根据条件1x＋9y＝1解出y，用只含x的代数式表示y，代数式x＋y转化为只含x的函数，再考虑利用基本不等式求出最值．(2)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．第15页【解析】由1x＋9y＝1，得x＝yy－9.∵x0，y0，∴y9.x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10.∵y9，∴y－90.∴y－9＋9y－9＋10≥2（y－9）·9y－9＋10＝16，第16页当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号．又1x＋9y＝1，则x＝4.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.第17页【思路分析】方法二：在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法．第18页【解析】∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x0，y0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.第19页探究2(1)要创造条件应用均值定理，和定积最大，积定和最小．多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值．(2)注意“1”的代换技巧．(3)本题(1)易错解为：1＝x＋2y≥22xy，∴xy≤24.∴1x＋1y≥2xy≥82＝42.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立．第20页●思考题2(1)已知1x＋2y＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值．(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求1x＋2y的最小值．第21页【解析】(1)x＋y＝(x＋y)·(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22.(2)1x＋2y＝(1x＋2y)·x＋y4＝14(3＋yx＋2xy)≥3＋224.第22页题型三利用均值不等式求参数的取值范围例3若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的范围；(2)a＋b的范围．第23页【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3，即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤(a＋b2)2.令t＝a＋b0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．第24页探究3利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，第②问也可用如下方法求解：由已知b＝a＋3a－10，∴a－10，∴a＋b＝a＋a＋3a－1＝a＋a－1＋4a－1＝a＋1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋2≥6.第25页●思考题3若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．第26页【解析】由基本不等式得xy≥22xy＋6，令xy＝t得不等式t2－22t－6≥0，解得t≤－2(舍去)或者t≥32，故xy的最小值为18.【答案】18第27页题型四利用基本不等式证明不等式例4(1)已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.【思路分析】利用重要不等式可以把左边每两项与右边的一项建立联系，但左边有3项，怎么办？3项的2倍是6项，再分成3个2项，分别用重要不等式，再将三个同向不等式相加，即得所求证的不等式．第28页【证明】∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.第29页(2)设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.第30页【解析】b＋ca＋c＋ab＋a＋bc＝ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc＝(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)．∵a0，b0，c0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.同理，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2.∴b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.第31页探究4在解题过程中，把数、式合理地分拆，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧．在本节中应用较多，请同学们仔细体会，总结并掌握规律．第32页●思考题4(1)已知a，b，c都是正数，求证：ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc.【证明】左边＝a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab＝6abc＝右边，∴不等式成立．第33页(2)已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.第34页【证明】∵a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．第35页