2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.1.2 不等式的性质课件 新人教B版必修5

3．1不等关系与不等式3．1.2不等式的性质自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解不等式的性质定理及其证明，理解证明不等式的逻辑推理方法．2．能够灵活应用不等式的性质解决有关问题.不等式的性质(1)对称性：如果a＞b，那么___________；如果b＜a，那么___________.(2)传递性：如果a＞b，且b＞c，则___________.(3)加法法则：如果a＞b，则a＋c___________b＋c.推论1：(移项法则)不等式中的任意一项都可以把它的符号变成______________后，从不等式的一边移到另一边．b＜aa＞ba＞c＞相反的符号推论2：如果a＞b，c＞d，则_____________.更一般的结论：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式___________.(4)乘法法则：如果a＞b，c＞0，则___________；如果a＞b，c＜0，则___________.推论1：如果a＞b＞0，c＞d＞0，则___________.更一般的结论：几个两边都是___________的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式___________.a＋c＞b＋d同向ac＞bcac＜bcac＞bd正数同向推论2：如果a＞b＞0，则___________(n∈N＋，n＞1)．推论3：如果a＞b＞0，则____________(n∈N＋，n＞1)．an＞bnna＞nb1．设a＋b＜0，且a＞0，则()A．a2＜－ab＜b2B．b2＜－ab＜a2C．a2＜b2＜－abD．ab＜b2＜a2解析：∵a＋b＜0，a＞0，∴0＜a＜－b，∴a2＜－ab＜b2，故选A.答案：A2．设a2＜b2，a－b0，则()A．b0B．b0C．a0D．a0解析：∵a2b2，∴a2－b20，∴(a－b)(a＋b)0，又a－b0，∴a＋b0，∴b0，故选A.答案：A3．若α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是________．解析：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜－β＜π2，∴－π＜α－β＜0.答案：(－π，0)典例精析规律总结课堂互动探究判断下列各命题的真假．(1)若a＞b，则ac＜bc；(2)若ac2＞bc2，则a＞b；(3)ca＜cb，且c＞0，则a＞b；(4)若a＜b＜0，则ba＞ab；(5)若c＞a＞b＞0，则ac－a＞bc－b.【解】(1)由于c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据．故该命题是假命题．(2)由ac2＞bc2知c≠0，c2＞0，所以a＞b，该命题为真命题．(3)由ca＜cb，且c＞0，所以1a＜1b，但a，b的符号不确定，故a，b的大小关系也不确定，故该命题是假命题．(4)由a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒a2＞b2⇒a2ab＞b2ab.即ab＞ba，故该命题是假命题．(5)a＞b＞0⇒－a＜－b，c＞a＞b＞0⇒0＜c－a＜c－b⇒1c－a＞1c－b＞0⇒ac－a＞bc－b，故该命题是真命题．【知识点拨】要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可．(2018·北京丰台期中)如果ab，那么下列不等式中一定成立的是()A．a＋cb＋cB.abC．c－ac－bD．a2b2解析：由ab，a，b的正负不确定，∴B、D错误；－a－b，∴c－ac－b，C错误；a＋cb＋c，A正确，故选A.答案：A对于实数a，b，c，下列命题正确的是()A．若a＜b＜0，则a2ab＞b2B．若a＞b，则ac＞bcC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＜b＜0，则ba＞ab解析：若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，A正确．答案：A若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea－c2＞eb－d2.【证明】∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.由倒数关系得1a－c2＜1b－d2.又∵e＜0，∴ea－c2＞eb－d2.【知识点拨】(1)本题中用到重要结论：a＞b，a＞0，b＞0⇒1a＜1b.(2)只有同向不等式才能相加，像本题中a－c可看做a＋(－c)就把“相减”转化为“相加”问题．若ab0，则下列不等式中总成立的是()A.bab＋1a＋1B．a＋1ab＋1bC．a＋1bb＋1aD.2a＋ba＋2bab解析：A中应是bab＋1a＋1；由ab0⇒01a1b⇒a＋1bb＋1a，故B错，C正确；因为2a＋ba＋2b－ab＝b2－a2a＋2bb＝b＋ab－aa＋2bb0，所以ab2a＋ba＋2b，D错误．答案：C已知20＜a＜34,24＜b＜60，求a＋b，a－b及ab的取值范围．【解】由20＜a＜3424＜b＜60⇒44＜a＋b＜94，由24＜b＜60⇒－60＜－b＜－2420＜a＜34⇒－40＜a－b＜10，由24＜b＜60⇒160＜1b＜12420＜a＜34⇒13＜ab＜1712.综上可知，所求的范围分别为44＜a＋b＜94，－40＜a－b＜10，13＜ab＜1712.【知识点拨】对于已知给定各个参量的取值范围，要求含参量的代数式的取值范围的一类问题，不能简单的地进行四则运算，必须依据不等式的运算法则、性质进行严格的推理论证．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解：解法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)．于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.故5≤f(－2)≤10.解法二：由f－1＝a－b，f1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.故5≤f(－2)≤10.即学即练稳操胜券基础知识达标1．已知a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的是()A．a|c|≥bcB．|a|c≥bcC．a|c|≥b|c|D．|a|c≥b|c|答案：C2．(2018·黑龙江大庆期中)下列四个结论，正确的是()①ab，cd⇒a－cb－d；②ab0，cd0⇒acbd；③ab0⇒3a3b；④ab0⇒1a21b2.A．①②B．②③C．①③D．①④解析：由ab，cd，∴－c－d，∴a－cb－d，∴①正确；ab0，cd0，∴－c－d0.∴－ac－bd，∴acbd，②错误；∵ab0，∴3a3b，∴③正确；∵ab0，a2b20，∴1a21b2，④错误，故选C.答案：C3．(2018·黑龙江牡丹江月考)对于实数a，b，c，有以下命题：①若ab，则acbc；②若ac2bc2，则ab；③若ab0，则a2abb2；④若ab，1a1b，则a0，b0.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：若ab，c的正负不确定，∴ac与bc大小不确定，①错；若ac2bc2，则ab，②正确；若ab0，a2abb2成立，③正确；若ab，1a1b，∴1a－1b＝b－aab0，∴ab0，∴a0，b0，④正确，故选C.答案：C4．已知x＞y＞0，则xy与x＋1y＋1中较大者是________．解析：解法一：∵x＞y＞0，∴xy＋x＞xy＋y，∴x(y＋1)＞y(x＋1)，∵y(y＋1)＞0，∴xy＋1yy＋1＞yx＋1yy＋1，即xy＞x＋1y＋1.解法二：xy－x＋1y＋1＝xy＋x－xy－yyy＋1＝x－yyy＋1，∵xy0，∴x－y0，y＋10，∴xyx＋1y＋1.答案：xy5．已知12＜a＜60,15＜b＜36.求a－b，ab的取值范围．解：∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15，又∵12a60，∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45.又136＜1b＜115，12a60，∴1236＜ab＜6015，∴13＜ab＜4.