2019-2020学年高中数学 第3讲 圆锥曲线性质的探讨 第2课时 平面与圆锥面的截线课件 新人教

第2课时平面与圆锥面的截线1．定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的夹角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则(1)βα，平面π与圆锥的交线为________；(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为________；(3)βα，平面π与圆锥的交线为________．椭圆抛物线双曲线2．圆锥曲线的结构特点(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的__________为常数(长轴长2a)；(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的__________的绝对值为常数(实轴长2a)；(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的__________．距离之和距离之差距离相等3．圆锥曲线的几何性质(1)焦点：Dandelin球与π平面的________；(2)准线：________与Dandelin球和圆锥面的交线所在平面的交线；(3)离心率：e＝______________.切点截面cosβcosα1．一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一个光源A，AA1与球相切，AA1＝6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于()A．12B．22C．23D．32【答案】A2．一平面截圆锥所得截线为椭圆，该平面与圆锥的轴线的夹角为50°，则圆锥的轴线与母线的夹角可能为()A．40°B．50°C．60°D．以上都不可能【答案】A3．圆锥的顶角为80°，圆锥的截面与轴线所成的角为50°，则截线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】B4．(2016年台州校级月考)如图，已知点P是圆锥母线SA的中点，Q是底面圆周上的点，M是线段PQ的中点，当点Q在圆周上运动一周时，点M的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线【答案】B【例1】一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，求椭圆的离心率．利用定理2求离心率【解题探究】解决本题的关键是，弄清哪个角是圆锥的母线与轴线的夹角，哪个角是截面与轴线的夹角．如图所示，圆锥的母线与轴线的夹角是α＝∠BSP，截面与轴线的夹角是β＝∠SPB，所以椭圆的离心率为e＝cosβcosα.【解析】如图所示为圆锥的轴截面，则AB＝8，SB＝6，SA＝10，所以AB2＋SB2＝SA2，从而∠SBA＝π2，cos∠ASB＝SBSA＝35.所以cos∠BSP＝cos12∠ASB＝1＋cos∠ASB2＝255.所以cos∠SPB＝sin∠BSP＝1－cos2∠BSP＝1－2552＝55.故椭圆的离心率为e＝cos∠SPBcos∠BSP＝55255＝12.讨论圆锥曲线的几何性质时，注意结合图形进行．1．一个顶角为60°的圆锥面被一个平面π所截，轴截面如图所示，Dandelin双球均在顶点S的下方且一个半径为1，另一个半径为5，求所得截线的离心率．【解析】Dandelin双球均在顶点S的同侧，截线是椭圆，A，B是椭圆长轴的两个端点，两球与平面π的切点F1，F2为椭圆的焦点，设AB＝2a，F1F2＝2c.2a＝BF1＋BF2＝BC＋BD＝CD＝SD－SC＝O2Dtan30°－O1Ctan30°＝5－1tan30°＝43.过点O2作O2G⊥O1F1交O1F1的延长线于点G，易得O2G＝F1F2，O1G＝O1F1＋O2F2＝1＋5＝6，O1O2＝SO2－SO1＝O2Dsin30°－O1Csin30°＝5－1sin30°＝8，所以2c＝O1O22－O1G2＝27.所以离心率为e＝2c2a＝2743＝216.【例2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F且与直线OA垂直的直线的方程．【解题探究】(1)由题意知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且开口向右，故可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p0)；(2)所求直线l与直线OA垂直，故其斜率等于直线OA的斜率的负倒数，又l过定点F，所以可由点斜式求出直线l的方程．圆锥曲线与方程【解析】(1)依题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p0)．因为抛物线过定点A(2,2)，所以4＝4p⇒p＝1.因此抛物线的标准方程为y2＝2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标为F12，0，又直线OA的斜率kOA＝2－02－0＝1，且所求直线l与直线OA垂直，所以kl＝－1kOA＝－1.所以所求直线l的方程为y－0＝－x－12，即2x＋2y－1＝0.本题主要考查抛物线的基本性质及标准方程的求法，同时考查了直线与圆锥曲线相结合的简单综合问题．2．顶点在原点，经过圆C：x2＋y2－2x＋22y＝0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为__________．【答案】y2＝2x【解析】因为圆C：x2＋y2－2x＋22y＝0的圆心是(1，－2)，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点(1，－2)，故可设标准方程为y2＝2px.因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p.所以p＝1，所以所求抛物线方程为y2＝2x.圆锥曲线的性质【例3】椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝43，|PF2|＝143.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M，且交椭圆C于A，B两点，且A，B两点关于点M对称，求直线l的方程．【解题探究】(1)依题意由椭圆定义，通过2a＝|PF1|＋|PF2|＝43＋143＝6可求得a，再解直角三角形PF1F2，可求得c，最后由b2＝a2－c2求出b，从而得出椭圆的方程；(2)注意分直线存在斜率和不存在斜率两种情况进行讨论．【解析】(1)如图所示，因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝43＋143＝6.所以a＝3.因为PF1⊥F1F2，且|PF1|＝43，|PF2|＝143.所以在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝|PF2|2－|PF1|2＝1432－432＝25，所以c＝5，从而b＝a2－c2＝2.所以椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．圆的方程化为标准方程(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圆心坐标为M(－2,1)．①如图所示，当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，由y－1＝kx＋2，x29＋y24＝1，消去y，得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝－36k2＋18k4＋9k2.因为A，B两点关于点M(－2,1)对称，所以x1＋x22＝－18k2＋9k4＋9k2＝－2，解得k＝89.经检验k＝89符合题意．所以直线l的方程为y－1＝89(x＋2)，即8x－9y＋25＝0.②如图所示，当直线l不存在斜率时，直线l垂直于x轴，此时，直线l与椭圆C相交所得两点A，B显然不关于点M对称，故不合题意．综上，直线l的方程为8x－9y＋25＝0.本题第一问主要考查椭圆的基础知识，第二问主要考查重要的数学思想方法——分类讨论．3．焦点分别为F1，F2的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点M(2,1)，且△MF2F1的面积为3，椭圆C的方程为__________．【答案】x26＋y23＝1【解析】∵椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点M(2,1)，且△MF2F1的面积为3，∴4a2＋1b2＝1，12×2c×1＝3.又a2＝b2＋c2，∴c＝3，a＝6，b＝3.∴椭圆C的方程为x26＋y23＝1.1．因为椭圆、双曲线和抛物线可用平面截圆锥曲面而得到，因此，这三种曲线皆称为圆锥曲线．2．圆锥曲线的统一定义平面内动点M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离之比等于常数e：(1)当0e1时，动点M的轨迹是椭圆；(2)当e1时，动点M的轨迹是双曲线；(3)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线．其中，定点F叫做焦点，定直线l叫做准线．3．解决有关截面与直线夹角问题时，关键是找出经过该直线且与截面垂直的平面，这需要充分结合图形的特点和条件来解决．4．Dandelin双球的应用是证明定理的关键，它将动点到两定点的距离之和(或差)转化为两平行平面间的母线之长，使问题变得容易解决．5．应用本节所学知识处理有关问题时，要注意知识的前引后连，不要片面地看待问题，同时要抓住问题的本质才能少走弯路．