2019-2020学年高中数学 第3讲 圆锥曲线性质的探讨 第1课时 平行射影、平面与圆柱面的截线课

第1课时平行射影、平面与圆柱面的截线1．平行射影(1)几何图形在平面上的正射影：①给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为A′，则称A′为点A在平面α上的________，如图所示；正射影②一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的________，如图所示．正射影(2)几何图形在平面上的平行射影：①设直线l与平面α相交，称直线l的方向为_________；②过点A作平行于l的直线(称为投影线)，并交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的__________，如图所示；投影方向平行射影③一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的__________________；④________是平行射影的特例．(3)椭圆的定义：平面上到两个定点的__________等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹叫做________．平行射影正射影距离之和椭圆2．平面与圆柱面的截线(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是________．如图所示，F1，F2叫做椭圆的焦点，B1B2是F1F2的中垂线，A1A2叫做椭圆的________，B1B2叫做椭圆的________，F1F2叫做椭圆的________．椭圆长轴短轴焦距(2)椭圆的性质：①如果长轴长为2a，短轴长为2b，那么焦距2c＝____________；②准线：________与截面的交线；③离心率：e＝________＝________，其中φ是截面与母线的夹角；④Dandelin双球是证明椭圆和探究性质的关键．Dandelin双球与截面的________是椭圆的焦点；Dandelin双球的半径等于椭圆____________．2a2－b2底面cosφca切点短半轴的长1．线段AB，CD在同一平面内的正射影相等，则线段AB，CD的长度关系为()A．ABCDB．ABCDC．AB＝CDD．无法确定【答案】D2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内，则它在α上的平行射影是____________________．【答案】梯形或一条线段3．若一直线与平面的一条斜线在此平面上的正射影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是()A．垂直B．异面C．相交D．不能确定【答案】D4．P为△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC与平面ABC所成角均相等，又PA与BC垂直，那么△ABC的形状可能是________．①正三角形；②等腰三角形；③非等腰三角形；④等腰直角三角形．(将你认为正确的序号全填上)【答案】①②④【例1】如图所示，已知C是AB的中点，A，B，C三点在平面α上沿直线l的平行射影分别为A1，B1，C1，求证：C1是线段A1B1的中点．几何图形在平面上的平行射影【解题探究】图形的平行射影与两个因素有关：一个是投影方向，一个是投影平面．正确理解平行射影的有关概念，是解决平行射影问题的关键．【证明】根据平行射影的定义，有AA1∥l，BB1∥l，CC1∥l，∴AA1∥BB1∥CC1.∵C是AB的中点，∴由平行线等分线段定理，得C1是线段A1B1的中点．平行射影的关键是投影线平行于投影方向，以此可以将问题转化为平行线有关问题来解决．1．Rt△ABC的直角边AB在平面α内，顶点C在平面α外，则直角边BC、斜边AC在平面α上的正射影与直角边AB组成的图形是()A．线段或锐角三角形B．线段或直角三角形C．线段或钝角三角形D．线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形【答案】B【解析】若平面ABC与α垂直，则直角边BC在平面α上的正射影为点B，斜边AC在平面α上的正射影为线段AB．若平面ABC与α不垂直，令直角边BC在平面α上的射影BC′，由三垂线定理可得BC′⊥AB，故直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形为直角三角形．故选B．【例2】将两个半径为2的球嵌入一个底面半径为2的圆柱中，使两个球的球心相距为6，用一个分别与两个球相切的平面去截圆柱面，所得截线为椭圆，求该椭圆的离心率．【解题探究】本题为Dandelin双球法在圆柱面当中的应用．圆柱形物体的斜截口的是椭圆【解析】依题意，知Dandelin双球的球心距等于长轴长，即2a＝6，∴a＝3.根据平行射影知识可知，椭圆短轴长应等于圆柱底面的直径，即2b＝4，∴b＝2.∴c＝a2－b2＝32－22＝5.椭圆的离心率为e＝ca＝53.解答本题的关键是熟练掌握在Dandelin双球法中，各个量与椭圆的长轴长、短轴长和焦距之间的关系．【答案】B2．已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平面与圆柱面所截形成的椭圆的离心率是()A．32B．12C．22D．1【解析】因为平面与圆柱面所截形成的图形是椭圆，所以其离心率e＝cos60°＝12.故选B．【例3】平面内两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离之和为10，求动点M的轨迹方程．【解题探究】依题意知，动点的轨迹是椭圆，再建立直角坐标系求出椭圆的标准方程．椭圆的性质【解析】以两定点所在直线为x轴，两定点连线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，由椭圆定义知，动点M的轨迹是椭圆，设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．则依题意，知2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4.∴b＝a2－c2＝52－42＝3.故所求椭圆方程为x225＋y29＝1.若以两定点所在直线为y轴，两定点连线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则可求得椭圆的标准方程为y225＋x29＝1.另外，本题还可用求轨迹的通法(即建系设点、列式、用坐标表示等式、化简方程等)求解．3．用一与底面成30°角的平面去截一圆柱，已知圆柱的底面半径为4，求截面椭圆的标准方程．【解析】∵圆柱的底面半径为4，∴椭圆的短轴2b＝8，得b＝4.又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，∴cos30°＝82a，可得a＝833.∴截面椭圆的方程为3x264＋y216＝1.1．正射影实际上就是初中学过的正投影．射影面α不一定是水平面，图形也不一定是平面图形．2．平行射影就是初中学过的平行投影．正射影是平行射影的特例．两条相交直线在一个平面上的平行射影可能是两条相交直线，也可能是一条直线；两条平行直线在一个平面上的平行射影可能还是两条平行直线，也可能是一条直线，还可能是两个点；两条异面直线在一个平面上的平行射影，可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一条直线和直线外的一个点．3．图形的平行射影与两个因素有关：一个是投影方向，一个是投影平面．正确理解平行射影的有关概念，是解决平行射影问题的关键．4．对于一个图形在平面上的平行射影，要根据图形与平面的位置来决定平行射影是一个怎样的图形．5．正射影、平行射影、中心投影之间的关系：正射影也称正投影，我们常说的射影即正射影．正射影是平行射影(或平行投影)的特例，正射影的投影线一定与投影面垂直，而平行射影的投影线不一定与投影面垂直．中心投影是光由一点向外散射形成的投影，其投影线相交于一点，而平行投影的投影线是互相平行的．6．将一个放在水平桌面上的圆柱形玻璃杯中倒入半杯水，观察水面所成的图形，会发现是一个圆面，如果将玻璃杯倾斜一定的角度，此时水面是一个椭圆面．一般地，用一个平面去截圆柱，当平面α与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆面；当平面β与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆．如图所示．7．圆柱形物体的斜截口是椭圆，因此，椭圆的度量性质与底面半径、截面与母线的夹角密切相关．8．探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质，要熟知Dandelin双球与圆柱及其截平面的关系，综合应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形以及平行射影的性质等．9．将两个球嵌入圆柱内，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理1的关键．这种方法是数学家Dandelin创立的，故将嵌入的双球称为Dandelin双球．