2019-2020学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 第2课时 一般形式的柯西不等式课件

第2课时一般形式的柯西不等式1．定理1.三维形式的柯西不等式：(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥__________________，当且仅当_______________或______________________________________________时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋a3b3)2bi＝0(i＝1,2,3)存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)2．定理2.一般形式的柯西不等式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥________________________，当且仅当__________________或_________________________________________时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2bi＝0(i＝1,2，…，n)存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)1．已知x0，y0，z0且1x＋2y＋3z＝1，则x＋y2＋z3的最小值是()A．5B．6C．8D．9【答案】D【解析】∵1x＋2y＋3z＝1，∴x＋y2＋z3＝x＋y2＋z3·1x＋2y＋3z≥x·1x＋y2·2y＋z3·3z2＝(1＋1＋1)2＝9.∴x＋y2＋z3min＝9.2．设x0，y0，z0且x＋2y＋3z＝7，则4x＋2y＋3z的最小值是()A．5B．7C．9D．11【答案】B【解析】∵x0，y0，z0且x＋2y＋3z＝7，∴(x＋2y＋3z)4x＋2y＋3z＝[(x)2＋(2y)2＋(3z)2]·4x2＋2y2＋3z2≥x·4x＋2y·2y＋3z·3z2＝(2＋2＋3)2＝49.∴74x＋2y＋3z≥49，从而4x＋2y＋3z≥7，即4x＋2y＋3zmin＝7.3．已知x，y，z∈R且x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值是______．【答案】a214【解析】∵x＋2y＋3z＝a，∴(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2.∴x2＋y2＋z2≥a214.∴(x2＋y2＋z2)min＝a214.4．设a，b，c为正数且a＋2b＋3c＝13，求3a＋2b＋c的最大值．【答案】1333【解析】由(a＋2b＋3c)32＋12＋132≥a·3＋2b·1＋3c·132＝(3a＋2b＋c)2，得3a＋2b＋c≤1333.∴(3a＋2b＋c)max＝1333.【例1】已知x，y，z∈R且2x＋3y＋6z＝12，求x2＋y2＋z2的最小值．【解题探究】利用三维柯西不等式可解．三维柯西不等式求最值【解析】由三维柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(22＋32＋62)≥(2x＋3y＋6z)2＝122＝144，所以x2＋y2＋z2≥14449，当且仅当x2＝y3＝z6，2x＋3y＋6z＝12，即x＝2449，y＝3649，z＝7249时，等号成立．所以x2＋y2＋z2的最小值为14449.本题由2x＋3y＋6z＝12以及x2＋y2＋z2的形式，通过构造(22＋32＋62)作为一个因式，从而利用三维柯西不等式使问题得到解决．1．若2x＋3y＋z＝7，求x2＋y2＋z2的最小值．【解析】∵(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，∴x2＋y2＋z2≥2x＋3y＋z214＝72.当且仅当x2＝y3＝z1时取得等号，即x＝1，y＝32，z＝12时，x2＋y2＋z2取到最小值为72.三维柯西不等式证明不等式【例2】已知x，y，z均为正数且x＋y＋z＝1，求证：1x＋4y＋9z≥36.【解题探究】注意到1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)·1x＋4y＋9z，就可以应用柯西不等式了．【解析】由柯西不等式，得1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥x·1x＋y·2y＋z·3z2＝36，当且仅当x2＝14y2＝19z2，即x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．所以1x＋4y＋9z≥36.与二维柯西不等式的应用一样，巧用条件x＋y＋z＝1，构造与三维柯西不等式一致的形式解决问题．2．实数a，b，c满足a2＋b24＋c29＝1.求证：a＋b＋c≤14.【证明】∵a2＋b24＋c29＝a2＋b22＋c32，∴a2＋b22＋c32(1＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，又a2＋b24＋c29＝1，∴a＋b＋c≤14，当且仅当a＝b4＝c9＝1414时取得等号．不等式得证．一般形式的柯西不等式【例3】设x1，x2，…xn均为正数且x1＋x2＋…＋xn＝1.求证：x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn≥1n＋1.【解题探究】要证明不等式x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn≥1n＋1成立，可考虑先证明不等式：(n＋1)·x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn≥1成立，然后将n＋1变形为(1＋x1＋1＋x2＋…＋1＋xn)，再利用柯西不等式，从而使问题得到解决．【解析】因为x1，x2，…，xn均为正数且x1＋x2＋…＋xn＝1，所以由柯西不等式，得(n＋1)·x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn＝(1＋x1＋1＋x2＋…＋1＋xn)·x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn≥1＋x1·x11＋x1＋1＋x2·x21＋x2＋…＋1＋xn·xn1＋xn2＝(x1＋x2＋…＋xn)2＝1.所以x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn≥1n＋1.应用柯西不等式解题时，首先应进行必要的变形或构造相应的式子，使条件符合柯西不等式的形式，然后解得．3．设a1a2…anan＋1.求证：1a1－a2＋1a2－a3＋…＋1an－an＋1＋1an＋1－a10.【证明】∵a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)，∴[(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)]·1a1－a2＋1a2－a3＋…＋1an－an＋1≥a1－a2·1a1－a2＋a2－a3·1a2－a3＋…＋an－an＋1·1an－an＋12＝n21.∴(a1－an＋1)1a1－a2＋1a2－a3＋…＋1an－an＋11，即1a1－a2＋1a2－a3＋…＋1an－an＋11a1－an＋1，故1a1－a2＋1a2－a3＋…＋1an－an＋1＋1an＋1－a10.1．对一般形式的柯西不等式的理解：对于一般形式的柯西不等式，应该类比二维柯西不等式，通过几何意义来理解．2．不等式的应用：一般形式的柯西不等式有着广泛的应用，尤其是证明不等式和求最值方面．在应用过程中，常常需要进行适当的变形、拼凑，得到与不等式一致的形式．3．在柯西不等式的应用中，常用到如下的三种变形，要注意变形适用的条件．(1)a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23≥|a1b1＋a2b2＋a3b3|；(2)a21＋a22＋…＋a2n·b21＋b22＋…＋b2n≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|；(3)(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R＋)．