2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程本章整合提升课件 新人教A版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程本章整合提升圆锥曲线与方程曲线与方程曲线与方程求曲线的方程圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质根据圆锥曲线的定义可解决如下问题：①求轨迹方程；②解决椭圆、双曲线、抛物线中的焦点三角形问题；③解决一些最值问题等．已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积．【解】由已知，得a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝4－3＝1.从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由勾股定理，可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4.又由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|.从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝32.所以△PF1F2的面积S＝12·|PF1|·|F1F2|＝12×32×2＝32，即△PF1F2的面积是32.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知只要|FM|＞4即可，根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2＞4，解得y0＞2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．【答案】C直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离．应当注意的是，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线有且只有一个交点，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有且只有一个交点，因此在涉及直线与双曲线(抛物线)的交点个数时，一定要注意相交有一个交点的情形．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题，解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法，还要结合圆锥曲线的定义、根与系数的关系以及点差法等．已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解】(1)设F(c,0)，又A(0，－2)，知直线AF的斜率为2c＝233，解得c＝3.又ca＝32，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆E的方程为x24＋y2＝1.(2)依题意当l⊥x轴时，不合题意，故设直线l的方程为y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx－2代入x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)0，即k234时，x1,2＝8k±24k2－31＋4k2，从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－31＋4k2.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1，所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝44k2－31＋4k2.设4k2－3＝t，则t0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t≤42t·4t＝1，当且仅当t＝2，即k＝±72时，等号成立，且满足Δ0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.由椭圆与双曲线的离心率的定义可知，e＝ca，求离心率常用的方法有(1)定义法e＝ca；(2)方程法：通过变形，建立参数a与c之间的齐次方程，从而求出e；(3)数形结合：根据题目中出现的几何图形，根据圆锥曲线的定义，几何性质等建立参数之间的关系，求出离心率．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左焦点F到直线AB的距离为77|OB|，求椭圆的离心率．【解】设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则直线AB的方程为x－a＋yb＝1，即bx－ay＋ab＝0.由点到直线距离公式，得|ab－cb|a2＋b2＝77b，∵a2－b2＝c2，a＞b，a＞c，∴5a2－14ac＋8c2＝0，即8e2－14e＋5＝0，解得e＝12或e＝54(舍)，所以椭圆的离心率为12.已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．mn且e1e21B．mn且e1e21C．mn且e1e21D．mn且e1e21【解析】在椭圆中，a1＝m，c1＝m2－1，e1＝m2－1m.在双曲线中，a2＝n，c2＝n2＋1，e2＝n2＋1n.因为c1＝c2，所以m2－1＝n2＋1，即m2－n2＝2.从而m＞n，且e1e2＝m2－1n2＋1m2n2＝m2n2＋1m2n2＝1＋1m2n2＞1.【答案】A最值、定值问题，可谓在高考解析几何综合题中“热度不减”，原因在于解析几何的主体内容通过最值、定值的提问方式，既能将其他章节重要数学知识内容结合起来，考查考生函数方程的思想以及分类讨论的思想，又能考查考生代数运算能力、推理论证能力和抽象概括能力，以上综合能力如果能浑然天成地贯穿于一道试题之中，无疑就提高了试题的选拔功能．已知动点P到定点F(2，0)的距离与点P到定直线l：x＝22的距离之比为22.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设M，N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM→·FN→＝0，求|MN|的最小值．【解】(1)设点P(x，y)，依题意，有x－22＋y2|x－22|＝22，整理得x24＋y22＝1.所以动点P的轨迹C的方程为x24＋y22＝1.(2)∵点E与点F关于原点O对称，∴点E的坐标为(－2，0)．∵M，N是直线l上的两个点，∴可设M(22，y1)，N(22，y2)(不妨设y1＞y2)．∵EM→·FN→＝0，∴(32，y1)·(2，y2)＝0.即6＋y1y2＝0，即y2＝－6y1.由于y1＞y2，则y1＞0，y2＜0.∴|MN|＝y1－y2＝y1＋6y1≥2y1·6y1＝26.当且仅当y1＝6，y2＝－6时，等号成立．故|MN|的最小值为26.