2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第一课时 椭

第二章圆锥曲线与方程2．2椭圆2．2.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．掌握椭圆的简单几何性质．2．了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响．‖知识梳理‖椭圆的简单几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－a≤y≤a－b≤x≤b对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)焦点F1___________，F2___________F1___________，F2___________焦距|F1F2|＝___________(－c,0)(c,0)(0，c)(0，－c)2c顶点A1___________，A2___________；B1___________，B2___________A1___________，A2___________；B1___________，B2___________轴长长轴长___________，短轴长___________离心率e＝_________∈___________(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2a2b(0,1)ca解剖难点探究提高重点难点突破椭圆的焦距与长轴长的比，称作椭圆的离心率，记作e＝2c2a＝ca，由a＞c＞0，知0＜e＜1，当e越接近1，则c越接近a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；反之e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆；当且仅当a＝b时，c＝0，这时两焦点重合，图形变成圆，方程为x2＋y2＝a2.归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一椭圆的简单几何性质求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．【思路探索】欲解此题，需将椭圆化成标准形式，再确定焦点的位置及a，b，c的值，然后求解．【解】椭圆方程可变形为x29＋y24＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝9－4＝5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25，焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝ca＝53.[名师点拨]已知椭圆的方程讨论其性质时，先将方程化成标准形式，焦点不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x25＋y2＝1B.x24＋y25＝1C.x25＋y2＝1或x24＋y25＝1D．以上答案都不对解析：直线与坐标轴交于(0,1)，(－2,0)，当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，∴方程为x25＋y2＝1；当焦点在y轴上时，c＝1，b＝2，∴a2＝5，∴方程为x24＋y25＝1.答案：C题型二根据椭圆的性质求椭圆的方程根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)长轴长为10，离心率为35；(2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6.【思路探索】欲求椭圆的方程，只需确定a，b的值，确定焦点所在的坐标轴即可．【解】(1)由题意，得2a＝10，∴a＝5.又e＝ca＝35，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.当焦点在x轴上时，椭圆方程为x225＋y216＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为y225＋x216＝1.(2)∵焦距为6，∴2c＝6，∴c＝3.∵B1F⊥B2F，∴∠B1FO＝45°，∴|OB1|＝|OF|，∴b＝c＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.∵焦点在x轴上，∴所求的椭圆的标准方程为x218＋y29＝1.[名师点拨]在椭圆中，椭圆的中心O，焦点F及短轴的顶点B的连线构成的三角形为直角三角形，满足b2＋c2＝a2，其中|BF|＝a.(1)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的标准方程为________________．(2)若椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m＝__________.解析：(1)由题意，知2a＝12，∴a＝6.又e＝ca＝32，∴c＝33.∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.又∵焦点在x轴上，∴椭圆C的标准方程为x236＋y29＝1.(2)由题意，得e＝ca＝12，∴a2＝4c2＝4(a2－b2)，∴3a2＝4b2，当焦点在x轴上时，a2＝2，b2＝32，即m＝32，当焦点在y轴上时，b2＝2，a2＝m，a2＝43b2＝83，即m＝83，∴m＝32或83.答案：(1)x236＋y29＝1(2)32或83题型三椭圆离心率的应用(1)(2018·全国卷Ⅰ，改编)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道，“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是R2，5R2(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为()A.15B．23C.25D．13【思路探索】欲求离心率，只需由椭圆的几何性质分析得到a、c的值，再由e＝ca计算可得．【解析】由题意，得a＋c＝52R＋R，a－c＝R2＋R，∴a＝52R，c＝R，∴e＝ca＝R5R2＝25，故选C.【答案】C(2)若椭圆上存在点P，使得P到两个焦点的距离之比为2∶1，求这个椭圆离心率的取值范围．【思路探索】应利用|PF|范围，再求e范围．【解】设|PF1|∶|PF2|＝2∶1，即|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a3.又∵a－c≤|PF2|≤a＋c，∴a－c≤2a3≤a＋c，解得e≥13.又0＜e＜1，∴13≤e＜1.[名师点拨]在椭圆中，a，b，c这三个量只要已知其中两个量之间的关系，便可求出离心率，在求离心率e的取值范围时，要注意找出某些的范围或不等关系，求解如三角形两边之和大于第三边，椭圆上的点到焦点的距离的取值范围，等等.(2019·大庆模拟)已知直线l：y＝kx与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.22，1B．0，22C.22，1D．0，22解析：由题意得AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c.由|OA|＞b，即c＞b，得c2＞b2＝a2－c2，即c2＞12a2.又0e1，解得22＜e＜1.答案：C即学即练稳操胜券课堂基础达标1．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：由题可知，a2＝10－m，b2＝m－2,2c＝4，∴c2＝a2－b2＝(10－m)－(m－2)＝12－2m＝4.∴m＝4.答案：A2．若椭圆的离心率e＝23，长轴长为6，则椭圆的标准方程为()A.x236＋y220＝1B.x29＋y25＝1C.x29＋y25＝1或x25＋y29＝1D.x220＋y236＝1或x236＋y220＝1解析：∵e＝ca＝23，2a＝6，∴a＝3，c＝2.∴b2＝a2－c2＝5.∴当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x29＋y25＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为x25＋y29＝1.答案：C3．(2019·保定模拟)已知椭圆E的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为()A.35B．45C.513D．1213解析：由题意，得b＝3，a－c＝9，a2－b2＝c2或b＝3，a＋c＝9，a2－b2＝c2，解得b＝3，a＝5，c＝－4，(舍去)或b＝3，a＝5，c＝4，∴e＝ca＝45.答案：B4．设A，B是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)长轴上的两个顶点，若椭圆上存在一个点P，使得∠APB＝120°，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：∵短轴一顶点与长轴两顶连线所成角为最大角，∴椭圆上存在一点，使∠APB＝120°，即最大角大于120°，∴ab≥3，即a2≥3b2＝3(a2－c2)，∴2a2≤3c2，∴e2≥23，又∵0＜e＜1，∴63≤e＜1.答案：63，15．求中心在原点，对称轴为坐标轴，其中一顶点是(0,2)，离心率e＝32的椭圆标准方程．解：当焦点在x轴上时，则b＝2，ca＝32，又由a2－b2＝c2，解得a2＝16，b2＝4，∴椭圆的标准方程为x216＋y24＝1；当焦点在y轴上时，则a＝2，又e＝ca＝32，∴c＝3，故b2＝a2－c2＝1，∴椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.综上，椭圆的标准方程为x216＋y24＝1或y24＋x2＝1.