2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质课件 苏教版选修2

第2章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的几何性质学习目标核心素养1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．(难点)3.会用椭圆的方程及性质处理一些实际问题．(重点、难点)1.通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象素养．2.借助直线与椭圆的位置运算，培养数学运算素养.自主预习探新知1．椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长长轴长＝__，短轴长＝__焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝___对称轴_________对称中心______离心率e＝____________2a2b2cx轴，y轴(0,0)ca(0＜e＜1)2．离心率(1)定义：焦距与长轴长的比___叫做椭圆的离心率．(2)范围：e＝ca∈_____．(3)作用：当椭圆的离心率越________时，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越________时，则椭圆越接近于圆．ca(0,1)接近于1接近于0思考：(1)离心率e能否用ba表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示](1)e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－ba2，所以e＝1－ba2.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．D[椭圆方程可化为x2＋y26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．]1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是()A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)B[椭圆方程可化为x29＋y225＝1，则a＝5，b＝3，c＝25－9＝4，e＝ca＝45，故B.]2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5,3,0.8B．10,6,0.8C．5,3,0.6D．10,6,0.622[因为a2，所以e＝a2－4a＝22，解得a＝22.]3．椭圆x2a2＋y24＝1(a2)的离心率e＝22，则实数a的值为________．1[右焦点为(3，0)，把x＝3代入得34＋y2＝1，解得y＝±12，所以过焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为12×2＝1.]4．椭圆x24＋y2＝1被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为________．合作探究提素养由椭圆的方程求其几何性质【例1】(1)椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离为________．(2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路探究]分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质．(1)22[把椭圆2x2＋3y2＝12化为标准方程，得x26＋y24＝1，易知a2＝6，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝2，∴c＝2，故2c＝22.](2)[解]椭圆的方程可化为x2＋y281＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝81－1＝80＝45，∴椭圆的长轴长和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－45)，F2(0,45)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝ca＝459.研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．1．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标．[解]椭圆方程可化为x2m＋y2mm＋3＝1(m0)，因为m－mm＋3＝mm＋2m＋30，所以mmm＋3，所以焦点在x轴上，即a2＝m，b2＝mm＋3，c＝a2－b2＝mm＋2m＋3.由e＝32，得e＝ca＝m＋2m＋3＝32，所以m＝1.所以椭圆的标准方程为x2＋y214＝1.所以a＝1，b＝12，c＝32，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1－32，0，F232，0；四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B10，－12，B20，12.由椭圆的几何性质求方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是23；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路探究]确定焦点位置→设标准方程→求出a2，b2→写出标准方程[解](1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由已知得2a＝6，∴a＝3.又e＝ca＝23，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x29＋y25＝1或y29＋x25＝1.(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3,0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.∴椭圆的标准方程为x218＋y29＝1.由椭圆的几何性质求方程的方法步骤1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．2．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求该椭圆的标准方程．[解]法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由题意得2a＝5×2b，25a2＋0b2＝1，解得a＝5，b＝1，故所求椭圆的标准方程为x225＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，则设其标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由题意得2a＝5×2b，0a2＋25b2＝1，解得a＝25，b＝5，故所求椭圆的标准方程为y2625＋x225＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x225＋y2＝1或y2625＋x225＝1.法二：设椭圆的标准方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0，m≠n)，由题意得25m＋0n＝1，2m＝5×2n或25m＋0n＝1，2n＝5×2m，解得m＝25，n＝1或m＝25，n＝625.故所求椭圆的标准方程为x225＋y2＝1或y2625＋x225＝1.求离心率【例3】(1)如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，则该椭圆的离心率为________．(2)已知椭圆C的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A和短轴的一个端点B，∠OAB＝30°，则椭圆的离心率为________．[思路探究](1)求出直线l与x、y轴交点，找出a，b，进而求出离心率e；(2)在直角三角形OAB中，由∠OAB＝30°，可得a，b的关系，利用这个a，b的关系可求离心率．(1)255(2)63[(1)在直线l的方程x－2y＋2＝0中令y＝0得x＝－2，令x＝0得y＝1，故F1(－2,0)，B(0,1)，所以c＝2，b＝1，故a2＝b2＋c2＝5.所以a＝5，因此离心率e＝ca＝25＝255.(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在x轴上，由条件得∠OAB＝30°，OA＝a，OB＝b，∴ba＝tan30°＝33，∴e2＝c2a2＝1－b2a2＝1－13＝23，∴e＝63.]求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：1．若已知a，c，则直接代入e＝ca求解；2．若已知a，b，则由e＝1－ba2求解；3．若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可．3．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．[解]如图，连接BF2.∵△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，∴F2B⊥BF1.又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝c，|BF2|＝3c.据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋3c＝2a，∴ca＝3－1.∴椭圆的离心率e＝3－1.直线与椭圆的位置关系[探究问题]1．直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那样判断？如何判断直线与椭圆的位置关系？[提示](1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断．(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程．利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ0，Δ0还是Δ＝0，即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况．2．直线与椭圆相交时，若交点为A，B，则线段AB是椭圆的弦，如何计算弦AB的长呢？[提示]将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．设直线y＝kx＋m与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.3．与弦的中点有关的问题称为中点弦问题，若已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的弦AB的中点坐标为(x0，y0)，能否确定直线AB的斜率？[提示]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，所以1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.这种方法叫平方差法，也叫点差法．【例4】已知椭圆x24＋y2＝1.(1)当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点？(2)当m＝2时，求直线y＝x＋m被椭圆截得的线段长．[思路探究]联立，消去y得一元二次方程→Δ判别式→m的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长[解](1)联立x24＋y2＝1，y＝x＋m消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0.(*)∵Δ＝64m2－80(m2－1)0，∴－5m5，∴当－5m5时，直线与椭圆有两个不同的交点．(2)当m＝2时，方程(*)化为5x2＋16x＋12＝0，设线段端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－165，x1x2＝125，又k＝1，∴AB＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝452.直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由判别式进行判断．2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2进行求解，也可利用AB＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2进行求解．4.如图，已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程．[解]设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x22＝－18k1－k29k2＋4＝1，解得k＝－49.故直线AB的方程为y＝－49(x－1)＋1，即