2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（二）课件 新人教

第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的几何性质(二)学习目标核心素养1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．(重点、难点)通过对直线与椭圆位置关系相关知识的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.自主预习探新知1．点与椭圆的位置关系设P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则点P与椭圆的位置关系如下所示：(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.2．直线与椭圆的位置关系(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ0，则直线和椭圆；若Δ＝0，则直线和椭圆；若Δ0，则直线和椭圆．相交相离相切(2)根与系数的关系及弦长公式设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝x1－x22＋y1－y22，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得|AB|＝x1－x22＋kx1－kx22＝x1－x22＋k2x1－x22＝1＋k2|x1－x2|，而|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2，所以|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ0.例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆x216＋y29＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交．思考：直线和椭圆有公共点，联立直线与椭圆的方程组消去y后，推导出的弦长公式是什么？[提示]|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1k2|y1－y2|.1．若点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2＜a＜2B．a＜－2或a＞2C．－2＜a＜2D．－1＜a＜1[答案]A2．已知点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则()A．点(－3，－2)不在椭圆B．点(3，－2)不在椭圆上C．点(－3,2)在椭圆上D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上C[(－3,2)与(3,2)关于y轴对称，由椭圆的对称性可知，选C.]3．经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为________．[答案]2b2a合作探究提素养点、直线与椭圆的位置关系【例1】(1)已知点p(k,1)在椭圆x29＋y24＝1外，则实数k的取值范围为________．(2)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.①当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；②当m＝1时，求直线与椭圆的相交弦长；③求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．[解](1)由题意知k29＋14＞1，解得k＜－332或k＞332，所以k的取值范围为－∞，－332∪332，＋∞.(2)联立4x2＋y2＝1y＝x＋m消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)①∵因为直线和椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，即m2≤54，∴－52≤m≤52.所以m的取值范围为－52，52.②设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立4x2＋y2＝1，y＝x＋1，得5x2＋2x＝0.由题意得Δ＞0，由根与系数的关系得x1＋x2＝－25，x1·x2＝0，则弦长1＋k2|x1－x2|＝1＋1·x1＋x22－4x1x2＝2×25＝225.(3)设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(*)式，由根与系数的关系得x1＋x2＝－2m5，x1·x2＝m2－15，则弦长1＋k2|x1－x2|＝1＋1·x1＋x22－4x1x2＝225·5－4m2.由上式可知，当m＝0时，弦最长．此最长弦所在的直线的方程为y＝x，即x－y＝0.(1)有关直线与椭圆的位置关系问题通常有两类问题：一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的值或取值范围，两类问题在解决方法上是一致的，都是要将直线方程和椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解．(2)在弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|中，k为直线的斜率，在计算|x1－x2|或|y1－y2|时，一定要注意“整体代入”这种设而不求的思想，即利用根与系数的关系，得到|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2或|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2整体代入求解．1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1，试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)没有公共点．[解]直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组：y＝2x＋mx24＋y22＝1消去y，得：9x2＋8mx＋2m2－4＝0，①方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144，(1)当Δ0，即－32m32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程①有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，(3)当Δ0，即m－32，或m32时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.弦长及弦中点问题【例2】已知椭圆x216＋y24＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．[思路探究]利用中点公式或点差法可求解直线的斜率k.[解]法一：由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝82k2－k4k2＋1.又M为线段AB的中点，∴x1＋x22＝42k2－k4k2＋1＝2，解得k＝－12.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二：(点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－44×2＝－12，即kAB＝－12.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法三：对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4－x,2－y)．∵A，B两点都在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①4－x2＋42－y2＝16.②①－②，得x＋2y－4＝0.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.2．已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1)当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程．[解](1)由已知可得直线l的方程为y－2＝12(x－4)，即y＝12x.由y＝12x，x236＋y29＝1，消去y可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋14x1－x22＝52x1＋x22－4x1x2＝52×62＝310.所以线段AB的长度为310.(2)法一：当直线l的斜率不存在时，不合题意．设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．联立y－2＝kx－4，x236＋y29＝1，消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝32k2－16k1＋4k2，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以x1＋x22＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12，且满足Δ＞0.这时直线的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减得x22－x2136＋y22－y219＝0，整理得kAB＝y2－y1x2－x1＝－9x2＋x136y2＋y1，由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB＝－9×836×4＝－12，于是直线AB的方程为y－2＝－12(x－4)．即x＋2y－8＝0.椭圆中的最值(或范围)问题[探究问题]1．求解椭圆的最值问题一般有哪两种方法？[提示](1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及其意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应椭圆的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性法等．2．弦长公式是什么？[提示]|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.【例3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝22，且点P(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若点A，B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP(不包括端点)上．①求直线AB的斜率；②求△AOB面积的最大值．[思路探究](1)首先求出椭圆方程．(2)求出直线AB的斜率，设出直线AB的方程，求出△AOB的面积，用变量表示，根据重要不等式求出最值．[解](1)由题意得e＝ca＝22，4a2＋1b2＝1，a2＝b2＋c2，∴a＝6，b＝3，∴椭圆C的方程为x26＋y23＝1.(2)①法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的斜率为k，则x216＋y213＝1，x226＋y223＝1，∴x21－x226＋y21－y223＝0，∴2x06＋2y03·k＝0.又直线OP：y＝12x，M在线段OP上，∴y0＝12x0，∴k＝－1.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y－y0＝k(x－x0)，则y－y0＝kx－x0，x26＋y23＝1，∴(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－6＝0.由题意，Δ0，∴x1＋x2＝－4ky0－kx01＋2k2，∴x0＝－2ky0－kx01＋2k2.又直线OP：y＝12x，M在线段OP上，∴y0＝12x0，∴－2k12－k1＋2k2＝1，∴k＝－1.法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y＝kx＋m，则y＝kx＋m，x26＋y23＝1，