2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念课件 新人教B版

第二章圆锥曲线与方程2．1曲线与方程2．1.1曲线与方程的概念学习目标核心素养1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点)3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法.1.通过曲线与方程概念学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.自主预习探新知1．曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的．一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：轨迹方程①都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做；曲线C叫做．曲线C上点的坐标曲线方程的曲线的方程曲线思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明．[提示]如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？[提示]若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0.2．两条曲线的交点坐标曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组Fx，y＝0，Gx，y＝0的实数解．1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x－y＝0对称C[将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C.]2．下列各组方程中表示相同曲线的是()A．x2＋y＝0与xy＝0B.x＋y＝0与x2－y2＝0C．y＝lgx2与y＝2lgxD．x－y＝0与y＝lg10x[答案]D3．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是()ABCD[答案]D合作探究提素养曲线与方程的概念【例1】分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[解](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.解决“曲线”与“方程”的判定这类问题即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上B[“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．]2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是()A．直线2x－y＝0B．直线2x＋y＋3＝0C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0C[方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.∴表示两条直线2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.]曲线与方程关系的应用【例2】已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点Mm2，－m在此方程表示的曲线上，求m的值．[解](1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(2，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点Mm2，－m在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝m2，y＝－m适合上述方程，即m22＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－185，∴m的值为2或－185.(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．[解]∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2a＋122＋12.∴k≤12，∴k的取值范围是－∞，12.由方程判断其表示的曲线[探究问题]如何证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0?[提示]用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0，证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是方程f(x，y)＝0的解；第二步，设(x0，y0)是方程f(x，y)＝0的任一解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．【例3】方程(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0表示的曲线是什么？[思路探究]将方程转化为2x＋3y－5＝0x－3≥0或x－3－1＝0，再判断曲线形状．[解]因为(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0，所以可得2x＋3y－5＝0，x－3≥0，或者x－3－1＝0，也就是2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)和一条直线x＝4.1．(变换条件)把方程换成“2x－3－1(2x＋3y－5)＝0”，其表示什么曲线？[解]由2x－3－1(2x＋3y－5)＝0得2x＋3y－5＝0(x≥3)表示一条射线．2．(变换条件)把方程换成“(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0”，其表示什么曲线？[解]由(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0得2x＋3y－5＝0，x＋2y＞0，或者x＋2y＝8，也就是2x＋3y－5＝0(x＜10)或者x＋2y＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x＜10)(去除端点)和一条直线x＋2y＝8.方程表示的曲线的判断步骤提醒：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．当堂达标固双基1．思考辨析(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.()(2)方程x－y＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线．()(3)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．()[提示](1)√(2)×x－y＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线．(3)×必要不充分条件．2．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为()A．2B．3C.12D.13D[因为点P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，代入曲线方程可得a＝13，故选D.]3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．4个点[由方程得x2－4＝0，y2－4＝0，表示四个点．]4．方程1－|x|＝1－y表示的曲线是________．两条线段[由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1.∴曲线表示两条线段．]