2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2 2.2 抛物线的简单性质课件 北师大版选

第二章圆锥曲线与方程§2抛物线2.2抛物线的简单性质学习目标：1.掌握抛物线标准方程的四种形式.2.掌握抛物线的简单性质．(重点)3.会用抛物线的性质解决与抛物线有关的综合问题．(难点)自主预习探新知抛物线的性质类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图像焦点Fp2，0F________F________F________准线_________x＝p2__________________范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)性质离心率__________－p2，00，p20，－p2x＝－p2y＝－p2y＝p2e＝1开口方向向右向左向上向下性质通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|＝2p1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形，也是轴对称图形．()(2)抛物线的范围是x∈R，y≥0.()(3)抛物线是二次函数的图像．()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知抛物线x2＝2py(p0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为()A．(0,1)B．(0,2)C．(1,0)D．(2,0)A[由抛物线x2＝2py(p0)的准线为y＝－p2＝－1，得p＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．]3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为π4的直线l，直线l与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长是________．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点F(2,0)，直线l的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得x2－12x＋4＝0，x1＋x2＝12，|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.[答案]164．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．[解析]M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.[答案]1516合作探究提素养【例1】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．利用抛物线性质求标准方程[解]如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p0)或y2＝－2px(p0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，则|y1|＋|y2|＝23，即y1－y2＝23.由对称性知y2＝－y1，∴y1＝3.将y1＝3代入x2＋y2＝4得x＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y2＝2px，y2＝－2px上．∴3＝2p或3＝(－2p)×(－1)，p＝32.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.利用抛物线的性质求抛物线的方程一般采用待定系数法，其步骤是：1定位置.根据条件确定抛物线的焦点在哪条对称轴上及开口方向；2设方程.根据所定位置，设出抛物线的标准方程；3寻关系.根据条件列出关于参数p的方程；4得结论.解方程求得p的值，从而得到其标准方程.1．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．[解]由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点Fp2，0，直线l：x＝p2，∴A、B两点坐标为p2，p，p2，－p.∴|AB|＝2|p|.∵△OAB的面积为4，∴12·p2·2|p|＝4.∴p＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.【例2】已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．思路探究：设法证明三角形的另外两个顶点应满足什么关系，进而利用抛物线的性质求解边长．抛物线性质的应用[解]如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y21＝2px1，y22＝2px2.又因为|OA|＝|OB|，所以x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0.所以(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＋x2＋2p≠0.所以x1＝x2.即A，B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°，所以AB⊥x轴，所以y1＝x1tan30°＝33x1.又因为x1＝y212p，所以y1＝23p.而|AB|＝2y1＝43p，即为所求边长．利用抛物线的性质可以解决的问题：1对称性：解决抛物线的内接三角形问题；2焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；3范围：解决与抛物线有关的最值问题；4焦点：解决焦点弦问题.2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．[解]根据题意可以知道，AB垂直于x轴，即A，B关于x轴对称．设AB的方程为x＝x0，则A(x0，2px0)，B(x0，－2px0)，由kOA·kBF＝－1得2px0x0·－2px0x0－p2＝－1，解得x0＝52p，故直线AB的方程为x＝52p.[探究问题]1．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝8，求抛物线的标准方程．[提示]设抛物线标准方程为y2＝2px(p≠0)，则|AB|＝|2p|＝8，∴p＝±4，故标准方程为y2＝±8x.抛物线的焦点弦问题2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，能否求|AB|的值？[提示]如图，∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.【例3】已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．思路探究：方法1：设出直线方程，用弦长公式求解；方法2：由于直线过抛物线的焦点，可利用抛物线定义转化为到准线的距离的和求解．[解]法一：(代数法)焦点Fp2，0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则|AB|＝2p＜52p.所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为：y＝kx－p2，k≠0.由y＝kx－p2，y2＝2px，消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根与系数的关系得，y1＋y2＝2pk，y1y2＝－p2.∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1k2·y1－y22＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2＝2p1＋1k2＝52p，解得k＝±2.∴AB所在直线方程为y＝2x－p2或y＝－2x－p2.法二：(几何法)如图所示，抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－p2，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，设A，B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|＝dA＝x1＋p2，|BF|＝dB＝x2＋p2，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝52p，x1＋x2＝32p.当x1＝x2时，|AB|＝2p＜52p，所以直线AB与x轴不垂直．设直线AB的方程为y＝kx－p2.由y＝kx－p2，y2＝2px，得k2x2－p(k2＋2)x＋14k2p2＝0，x1＋x2＝pk2＋2k2＝32p，解得k＝±2，所以直线AB的方程为y＝2x－p2或y＝－2x－p2.将本例中的条件“过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|＝52p”变为“过此抛物线的焦点且与x轴垂直，与抛物线交于A、B两点，且|AB|＝10，P为抛物线准线上的一点”，求△ABP的面积．[解]因为|AB|＝2p，所以p＝5，S△ABP＝12|AB|·p＝12×10×5＝25.求抛物线弦长问题的方法：1一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|1＋k2＝|y1－y2|1＋1k2.2焦点弦长设AB是抛物线y2＝2pxp＞0的一条过焦点F的弦，Ax1，y1，Bx2，y2，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距点到准线的距离解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点.当堂达标固双基1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为()A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6yC[依题意，p2＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.]2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8[答案]D3．函数y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a的值等于________．[解析]由y＝ax2＋1，y＝x得ax2－x＋1＝0，由Δ＝0得1－4a＝0，∴a＝14.[答案]144．设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝______.[解析]设P(x,12)，代入到y2＝16x得x＝9，∴|PF|＝x＋p2＝9＋4＝13.[答案]135．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在直线的方程及|P1P2|.[解]设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3，∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由y2＝6x，y＝3x－11，得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴|P1P2|＝1＋1922－4×－22＝22303.