2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明章末复习课课件 新人教B版选修2-2

第二章推理与证明章末复习课合情推理1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤【例1】观察式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……，由此可归纳出的式子为()A．1＋122＋132＋…＋1n212n－1B．1＋122＋132＋…＋1n212n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n22n－1nD．1＋122＋132＋…＋1n22n2n＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sinα＋2π3＋sinα＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．[思路探究](1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得．(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．[解析](1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n22n－1n.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sinα＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sinα＋sinα＋2π3＋sinα＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有α＋4π3－α＋2π3＝α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sinα＋sinα＋π2＋sin(α＋π)＋sinα＋3π2＝0.[答案](1)C(2)sinα＋sinα＋π2＋sin(α＋π)＋sinα＋3π2＝01．已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是12，1，则(1)函数y＝sin6x＋cos6x(x∈R)的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y＝sin2nx＋cos2nx(n∈N＋)的值域是__________．[解析](1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)＝sin4x－sin2xcos2x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－3sin2xcos2x＝1－34sin2(2x)＝1－38(1－cos4x)＝58＋38cos4x∈14，1.(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n，1]．[答案](1)14，1(2)[21－n，1]综合法与分析法1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．【例2】设a0，b0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋1ab≥8.试用综合法和分析法分别证明．[思路探究](1)综合法：根据a＋b＝1，分别求1a＋1b与1ab的最小值．(2)分析法：把1ab变形为a＋bab＝1a＋1b求证．[解]法一：(综合法)∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2ab，ab≤12，ab≤14，∴1ab≥4.又1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥4，∴1a＋1b＋1ab≥8(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．法二：(分析法)∵a0，b0，a＋b＝1，要证1a＋1b＋1ab≥8，只要证1a＋1b＋a＋bab≥8，只要证1a＋1b＋1b＋1a≥8，即证1a＋1b≥4.也就是证a＋ba＋a＋bb≥4.即证ba＋ab≥2，由基本不等式可知，当a0，b0时，ba＋ab≥2成立，所以原不等式成立．2．(1)已知a，b，c为互不相等的非负数．求证：a2＋b2＋c2abc(a＋b＋c)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin2α－βsinα＝sinβsinα.[解](1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“＝”，所以a2＋b2＋c2ab＋bc＋ac，因为ab＋bc≥2ab2c，bc＋ac≥2abc2，ab＋ac≥2a2bc，又a，b，c为互不相等的非负数，所以ab＋bc＋acabc(a＋b＋c)，所以a2＋b2＋c2abc(a＋b＋c)．(2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sinα－sin(2α－β)＝sinβ，①因为①左边＝2cos(α－β)sinα－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα＝sinβ＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．【例3】设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．[思路探究](1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．[解](1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a11－qn1－q，∴Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1．∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．3．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明：数列{cn}不是等比数列．[证明]假设数列{cn}是等比数列，则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以a2n＝an－1an＋1，b2n＝bn－1bn＋1．代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbnpq＋qp，即2＝pq＋qp，②当p，q异号时，pq＋qp0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，所以pq＋qp2，与②相矛盾．故数列{cn}不是等比数列.数学归纳法1．关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．2．关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．【例4】已知正数数列{an}(n∈N＋)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋1an，用数学归纳法证明：an＝n－n－1.[解](1)当n＝1时，a1＝S1＝12a1＋1a1，所以a21＝1(an0)，所以a1＝1，又1－0＝1，所以n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即ak＝k－k－1.当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k，所以a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，解得ak＋1＝k＋1－k(an0)，所以n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N＋都有an＝n－n－1.4．设数列{an}的前n项和Sn＝nan＋12(n∈N＋)，a2＝2.(1)求{an}的前三项a1，a2，a3；(2)猜想{an}的通项公式，并证明．[解](1)由Sn＝nan＋12，得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3.(2)猜想：an＝n.证明如下：①当n＝1时，猜想成立．②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即ak＝k，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝k＋1ak＋1＋12－kak＋12＝k＋1ak＋1＋12－kk＋12.所以ak＋1＝k2k－1－1k－1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n∈N＋，都有an＝n.转化与化归思想转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．【例5】设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．[思路探究]假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾．[解]假设方程f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＋c＝0，∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．综上可知，方程f(x)＝0无整数根．5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．[证明]设n＝2m－1，m∈N＋，则xn＋yn＝x2m－1＋y2m－1．要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N＋)．(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除．(2)假设当m＝k(k∈N＋)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1)．因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，所以当m＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)，知原命题成立．1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良