2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 1.7 课时作业14 定积分在几何中的应用课件

课时作业14定积分在几何中的应用知识对点练知识点一不分割图形面积的求解1.由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，直线x＝a，x＝b(a＜b)与x轴所围成的曲边梯形的面积S等于()A．abf(x)dxB．－abf(x)dxC．abf(x)dx－abadxD．abf(x)dx－abbdx解析由定积分的几何意义，可知S＝－abf(x)dx.解析答案B答案2.如图，曲线y＝x2(x≥0)和直线x＝0，x＝1，y＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为()A．23B．13C．12D．14答案D答案解析3．由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A．103B．4C．163D．6答案C答案解析如下图阴影部分面积即为所求，求得曲线y＝x与直线y＝x－2的交点为A(4,2)，解析知识点二分割图形面积的求解4.由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为()A．53B．1C．52D．23答案B答案解析由图可知，所求面积S＝-10(x2－x)dx＋01(x－x2)dx＝x33－x22|0－1＋x22－x3310＝56＋16＝1.解析5．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积等于()A．-11(x－x3)dxB．-11(x3－x)dxC．201(x－x3)dxD．2-10(x－x3)dx答案C答案解析如下图．阴影部分的面积S＝201(x－x3)dx.故选C．解析6．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值．解由定积分与微积分基本定理，得S＝S1＋S2＝0t(t2－x2)dx＋t1(x2－t2)dx＝t2x－13x3|t0＋13x3－t2x|1t＝t3－13t3＋13－t2－13t3＋t3＝43t3－t2＋13，t∈(0,1)，所以S′＝4t2－2t，所以t＝12或t＝0(舍去)．答案当t变化时，S′，S变化情况如下表：t0，121212，1S′－0＋S单调递减极小值14单调递增所以当t＝12时，S最小，且Smin＝14.答案课时综合练一、选择题1．如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为()A．02|x2－1|dxB．02x2－1dxC．02(x2－1)dxD．01(x2－1)dx答案A答案解析由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如图所示的阴影部分的面积相等，即02|x2－1|dx.故选A．解析2．如图，阴影部分的面积为()A．9B．92C．136D．73答案B答案解析由y＝x－2，y＝－x2求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为S＝-21[－x2－(x－2)]dx＝-21(－x2－x＋2)dx＝－13x3－12x2＋2x1-2＝92.解析3．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A．2π5B．43C．32D．π2答案B答案解析由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为201(－x2＋1)dx＝2－x33＋x10＝43.故选B．解析4．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A．43B．2C．83D．1623答案C答案解析由题知，抛物线C的焦点为F(0,1)，又l过F且与y轴垂直，∴l为y＝1，∴l与C所围成的图形面积S＝4×1－-22x24dx＝4－x3122-2＝4－812＋812＝4－43＝83.解析5．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成图形的面积是23，则c等于()A．13B．12C．1D．23答案B答案解析由y＝x2，y＝cx3得x＝0或x＝1c.∵0＜x＜1c时，x2＞cx3，∴S＝∫1c0(x2－cx3)dx＝13x3－14cx41c0＝13c3－14c3＝112c3＝23，∴c3＝18，∴c＝12.解析二、填空题6．曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积为________．答案e＋1e－2答案解析作出图形，如图所示．S＝01(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)10＝e＋1e－(1＋1)＝e＋1e－2.解析7．由正弦曲线y＝sinx，x∈0，3π2和直线x＝3π2及x轴所围成的平面图形的面积等于________．答案3答案解析如图，所围成的平面图形(阴影部分)的面积解析8．如图，已知点A0，14，点P(x0，y0)(x0＞0)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等时，x0＝________.答案64答案解析由题意得阴影部分的面积为0x0x2dx＝13x30，因此13x30＝12×14·x0，解得x0＝64.解析三、解答题9．计算由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.解画出两函数的图象，如图所示．由y＝x2＋1，x＋y＝3，得x＝1，y＝2答案或x＝－2，y＝5.又直线x＋y＝3与x轴交于点(3,0)，∴S＝01(x2＋1)dx＋13(3－x)dx＝x33＋x10＋3x－x223-1＝13＋1＋9－92－3－12＝103.答案10．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112.求切点A的坐标以及切线方程．解由题意可设切点A的坐标为(x0，x20)，则切线方程为y＝2x0x－x20，可得切线与x轴的交点坐标为x02，0.画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x20与x轴所围图形如右图所示．故S＝S1＋S2解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，所求切线方程为y＝2x－1.答案本课结束