2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 1.5 定积分的概念 课时作业12 定积分的概念

课时作业12定积分的概念知识对点练知识点一定积分的概念1.设f(x)在[a，b]上连续，将[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则abf(x)dx等于()A.limn→∞i＝1nf(ξi)B.limn→∞i＝1nf(ξi)·b－anC.limn→∞i＝1nf(ξi)·ξiD.limn→∞i＝1nf(ξi)·(ξi－ξi－1)答案B答案解析根据定积分的概念可知，B选项正确，其余均不等于abf(x)dx，故选B.解析2．定积分-22f(x)dx(f(x)0)的积分区间是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．不确定解析由定积分的概念得定积分-22f(x)dx的积分区间是[－2,2].解析答案A答案知识点二定积分的几何意义3.若在区间[2,3]上，f(x)＞0恒成立，则23f(x)dx()A．大于0B．小于0C．可能大于0，也可能小于0D．等于0解析由定积分的几何意义，知23f(x)dx为函数f(x)的图象与直线x＝2，x＝3，y＝0围成的图形的面积．又f(x)＞0在[2,3]上恒成立，故23f(x)dx一定大于0.解析答案A答案4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝ab[f(x)－g(x)]dx求出的是()答案D答案解析定积分S＝ab[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方．对照各选项可知，D项中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．故选D.解析知识点三定积分的性质5.设函数f(x)＝3x2＋1，0≤x≤1，3x，－1≤x＜0，则-11f(x)dx＝()A.-11(3x2＋1)dxB.-113xdxC.-10(3x2＋1)dx＋013xdxD.-103xdx＋01(3x2＋1)dx答案D答案解析因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与相应的解析式一致．由定积分的性质，可知选D.解析6．已知abf(x)dx＝8，abg(x)dx＝4，求下列定积分：(1)ab[f(x)＋g(x)]dx＝________；(2)ab[f(x)－g(x)]dx＝________；(3)ab3f(x)dx＝________.答案(1)12(2)4(3)24答案解析(1)ab[f(x)＋g(x)]dx＝abf(x)dx＋abg(x)dx＝8＋4＝12.(2)ab[f(x)－g(x)]dx＝abf(x)dx－abg(x)dx＝8－4＝4.(3)ab3f(x)dx＝3abf(x)dx＝3×8＝24.解析课时综合练一、选择题1．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则-aaf(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则-aaf(x)dx＝20af(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则abf(x)dx＞0D．若f(x)在[a，b]上连续且abf(x)dx＞0，则f(x)在[a，b]上恒正答案D答案解析对于A，f(－x)＝－f(x)，-aaf(x)dx＝-a0f(x)dx＋0af(x)dx＝－0af(x)dx＋0af(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)＞0时，abf(x)dx＞0即C正确；但abf(x)dx＞0，不一定有f(x)恒正，故选D.解析2．物体做变速直线运动的速度为v(t)，当t＝0时，物体所在的位置为s0，则在t＝1秒末时它所在的位置为()A.01v(t)dtB．s0＋01v(t)dtC．－01v(t)dtD．s0－01v(t)dt解析由定积分的物理意义可知B正确．解析答案B答案3．设f(x)＝x2，x≥0，2x，x0，则1－1f(x)dx的值是()A.-11x2dxB.-112xdxC.-10x2dx＋012xdxD.-102xdx＋01x2dx解析因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致．利用定积分的性质可得正确答案为D.解析答案D答案4．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的图形的面积S＝()A.01(x－x2)dxB.01(x2－x)dxC.01(y2－y)dyD.01(y－y)dy解析画出曲线y＝x2与直线y＝x(如图所示)，由图象，得曲线y＝x2与直线y＝x所围成的图形的面积S＝01(x－x2)dx.解析答案A答案5．若-aa|56x|dx≤2016，则正数a的最大值为()A．6B．56C．36D．2016解析由-aa|56x|dx＝56-aa|x|dx≤2016，得-aa|x|dx≤36，所以-aa|x|dx＝20axdx＝a2≤36，即0＜a≤6.故正数a的最大值为6.解析答案A答案二、填空题6．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．解析阴影部分由直线x＝－4，x＝2，y＝0和曲线y＝x22围成，所以由定积分的几何意义可知阴影部分的面积用定积分表示为-42x22dx.解析答案-42x22dx答案7．已知01x2dx＝13，12x2dx＝73，则02(x2＋1)dx＝________.解析由定积分的性质，可得02(x2＋1)dx＝02x2dx＋021dx，而由已知，有02x2dx＝01x2dx＋12x2dx＝13＋73＝83，又由定积分的几何意义知021dx＝2，故02x2＋1dx＝83＋2＝143.解析答案143答案8．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分01f(x)dx，先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)，再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分01f(x)dx的近似值为__________．答案N1N答案解析因为0≤f(x)≤1，且由定积分的定义知：01f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴围成图形的面积．又产生的随机数对在如下图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N个数对，即N个点．解析而满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为N1N×1＝N1N，即01f(x)dx＝N1N.解析三、解答题9．计算3－3(9－x2－x3)dx的值．解如图，答案由定积分的几何意义，得-339－x2dx＝π×322＝9π2，-33x3dx＝0.由定积分的性质，得-33(9－x2－x3)dx＝-339－x2dx－-33x3dx＝9π2.答案10．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程．解由题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)＝32t，0≤t20，50－t，20≤t40，10，40≤t≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s＝060v(t)dt＝02032tdt＋2040(50－t)dt＋406010dt＝300＋400＋200＝900(米)．答案本课结束