2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 阶段复习课 第2课 离散型随机变量的分布列

第二章随机变量及其分布阶段复习课第2课离散型随机变量的分布列、期望与方差条件概率与相互独立事件的概率【例1】小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．[思路点拨](1)这三列火车之间是否正点到达互不影响，因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题，注意两列正点到达所包含的情况．(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达，这种情况比正面列举简单些，因此利用对立事件的概率公式求解．[解]用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A－)＝0.2，P(B－)＝0.3，P(C－)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(A－BC)＋P(AB－C)＋P(ABC－)＝P(A－)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A－B－C－)＝1－P(A－)P(B－)P(C－)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.1．(改变问法)本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．[解]恰有一列火车正点到达的概率P3＝P(AB－C－)＋P(A－BC－)＋P(A－B－C)＝P(A)P(B－)P(C－)＋P(A－)P(B)P(C－)＋P(A－)P(B－)P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.2．(变换条件，改变问法)若一列火车正点到达计5分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤10)．[解]事件“ξ≤10”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤10)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，解得PABPA.(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.2．求解相互独立事件同时发生的概率时，要注意以下几个问题：(1)若事件A与B相互独立，则事件A与B，A与B，A与B分别相互独立，且有P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．1．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．[解]记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝520＝14.(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝119.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝119÷14＝419.独立重复试验与二项分布【例2】甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．[思路点拨](1)由于甲队中每人答对的概率均为23，因此每人回答一个问题可以看成3次独立重复试验，可用二项分布求分布列；(2)用独立事件的概率公式求概率．[解](1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C03×1－233＝127，P(ξ＝1)＝C13×23×1－232＝29，P(ξ＝2)＝C23×232×1－23＝49，P(ξ＝3)＝C33×233＝827，故ξ的分布列为ξ0123P1272949827(2)甲队得2分，乙队得1分，两事件相互独立，由(1)得，甲队得2分的概率P(ξ＝2)＝49，乙队得1分的概率P＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518.根据独立事件概率公式得，“甲队得2分，乙队得1分”的概率P(C)＝49×518＝1081.1．判断一个随机变量是否服从二项分布的关键(1)对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一．(2)重复性，即试验独立重复地进行了n次．(3)随机变量是事件发生的次数．2．二项分布实际应用问题的解题思路(1)根据题意设出随机变量．(2)分析出随机变量服从二项分布．(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)．(4)写出二项分布的分布列．2．甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束)．若仅比赛2局就结束的概率为1325.(1)求p的值；(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X的分布列和数学期望．[解](1)仅比赛2局就结束，即为甲连胜2局或乙连胜2局，所以p·p＋(1－p)(1－p)＝1325，即25p2－25p＋6＝0，解得p＝35或p＝25.(2)当p＝35时，即甲胜的概率为35，乙胜的概率为1－35＝25.X的可能取值为3,4,5.P(X＝3)＝353＋253＝35125，P(X＝4)＝C23352·25·35＋C23252·35·25＝234625，P(X＝5)＝C24352·252·35＋C24252·352·25＝216625，所以X的分布列为X345P35125234625216625所以E(X)＝3×35125＋4×234625＋5×216625＝2541625≈4.当p＝25时，结论与p＝35相同．离散型随机变量的期望与方差【例3】(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？[解](1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．求离散型随机变量的期望与方差的步骤3．一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)．(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列．(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ)．[解](1)由已知，随机变量η的取值为：2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0，则P(η0＝1)＝16，P(η0＝2)＝13，P(η0＝3)＝12，即P(η＝2)＝16×16＝136，P(η＝3)＝2×16×13＝19，P(η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518，P(η＝5)＝2×13×12＝13.P(η＝6)＝12×12＝14.所以η的分布列为：η23456P136195181314(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p＝14，因为随机变量ξ～B10，14，所以E(ξ)＝np＝10×14＝52，D(ξ)＝np(1－p)＝10×14×34＝158.