2019-2020学年高中数学 第2章 数列章末复习与总结课件 新人教A版必修5

章末复习与总结我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差(或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出现．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式求解．【例】(1)(2018·湖南长沙联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分).已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸(2)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A．192里B．96里C．48里D．24里[解析](1)设《易经》中记录的冬至、小寒、立春、…、夏至的晷影长依次为a1，a2，…，a13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d，由a1＝130.0，a13＝14.8，得130.0＋12d＝14.8，解得d＝－9.6.∴a6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C.(2)依题意，每天走的路程成公比为12等比数列，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝12，依题意有a11－1261－12＝378，解得a1＝192，则a2＝192×12＝96，即第二天走了96里．[答案](1)C(2)B[方法总结]求解与数列有关数学文化题的关键是在读懂题意的基础上构造数学模型，转化成等比、等差数列的基本问题求解.1．函数与方程思想数列是特殊的函数，用函数的观点认识数列和处理数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解决问题．例如，求等差数列前n项和Sn的最值，常转化为关于n的二次函数求最值或利用数形结合思想作出函数图象求最值．等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中含有a1，n，d(q)，an，Sn这五个基本量，已知其中任三个，通过解方程组可以求出其余两个．【例1】设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝21，S15＝－75，Tn为数列Snn的前n项和，求Tn的最大值．[解]设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d.∵S7＝21，S15＝－75，∴7a1＋21d＝21，15a1＋105d＝－75，即a1＋3d＝3，a1＋7d＝－5，解得a1＝9，d＝－2，∴Sn＝na1＋n(n－1)2d＝9n－(n2－n)＝10n－n2，则Snn＝10－n.∵Sn＋1n＋1－Snn＝－1，且S11＝9，∴数列Snn是首项为9，公差为－1的等差数列，则Tn＝n·[9＋(10－n)]2＝－12n2＋192n＝－12n－1922＋3618.∵n∈N＋，∴当n＝9或n＝10时，Tn有最大值45.2．分类讨论思想若等比数列的公比q的值不确定，求其前n项和时，要分q＝1和q≠1两种情况讨论；由前n项和公式Sn求通项公式an时，应分n＝1和n1两种情况分别求解．这些都是分类讨论思想在本章的运用．【例2】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn0(n＝1,2，…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－32an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．[解](1)因为{an}是等比数列，Sn0，所以a1＝S10，q≠0.当q＝1时，Sn＝na10；当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q0，即1－qn1－q0.上式等价于不等式组1－q0，1－qn0，①或1－q0，1－qn0.②解①式，得q1；解②式，由于n可为奇数，可为偶数，得－1q1，且q≠0.综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由bn＝an＋2－32an＋1，得bn＝anq2－32q，所以Tn＝q2－32qSn.于是Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)．又因为Sn0，且－1q0或q0，所以当－1q－12或q2时，Tn－Sn0，即TnSn；当－12q2，且q≠0时，Tn－Sn0，即TnSn；当q＝－12或q＝2时，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn.3．数列中的整体思想数列的运算往往比较繁杂，所以在解决某些数列问题时，往往把某一局部结构看成一个整体，进行整体运算．这样可以起到减少变量，简化结构，从而简化运算的作用．【例3】在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.[解]解法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1，由已知，得a11－qn1－q＝48，①a11－q2n1－q＝60，②②÷①，得1＋qn＝54，即qn＝14，③③代入①，得a11－q＝64，所以S3n＝a11－q3n1－q＝641－143＝63.解法二：∵{an}为等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，∴S3n＝S2n－Sn2Sn＋S2n＝60－48248＋60＝63.易错点1对项数n理解不准致误【例1】已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？[错解]由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)，令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2.所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．[辨析]本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几项．[正解]由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：an＝3n－1，bm＝4m－3(m，n∈N*，且1≤n≤40,1≤m≤40)．令an＝bm，得3n－1＝4m－3，即n＝4m－23＝22m－13，令2m－1＝3t，∵(2m－1)∈N*且为奇数，∴t∈N*且为奇数，∴m＝3t＋12，n＝2t.又∵1≤n≤40,1≤m≤40，∴1≤3t＋12≤40，1≤2t≤40.∴13≤t≤793，12≤t≤20，故12≤t≤20，又t∈N*且为奇数．∴数列共有10个数值相同的项．[防范措施]解题时一定要理解好所用字母的意义，否则会造成不必要的丢分，如本例中的两个数列中，an与bn的n表示的项数不同．易错点2求等差数列前n项和最值问题中常见的易错点【例2】在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15.求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．[错解]错解一：设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d.解得d＝－53，an＝20－(n－1)×53.当an0时，20－(n－1)×530，∴n13.∴n＝12时，Sn最大．S12＝12×20＋12×112×－53＝130.当n＝12时，Sn有最大值S12＝130.错解二：由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－53，令20＋n－1－530，①20＋n－53≤0，②由①得，n13，由②得，n≥12，∴n＝12时，Sn有最大值S12＝130.[辨析]错解一中仅解不等式an0不能保证Sn最大，也可能an＋1≥0，应有an≥0且an＋1≤0.错解二中仅解an＋1≤0也不能保证Sn最大，也可能an≤0，应保证an≥0才行．[正解]解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d.∴d＝－53，∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋653.∴a13＝0.即当n≤12时，an0，n≥14时，an0.∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋12×112×－53＝130.解法二：同解法一，求得d＝－53，∴Sn＝20n＋nn－12·－53＝－56n2＋1256n＝－56n－2522＋312524.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.解法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∴5a13＝0，即a13＝0.又a10，∴a1，a2，…，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.[防范措施]解决等差数列前n项和最值问题时，一般利用通项不等式组法，即(1)当a10，d0时，Sn最大⇔an≥0，an＋1≤0.(2)当a10，d0时，Sn最小⇔an≤0，an＋1≥0.易错点3对求和公式理解不透彻致误【例3】求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.[错解]∵Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②由①－②，得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn，∴Sn＝1＋nxn＋1－n＋1xn1－x2.[辨析]没有考虑等式左边(1－x)是否为零；等式右边在应用等比数列的求和公式时，也缺少对x＝1或x≠1的讨论，这是对课本上等比数列求和公式理解不够透彻的表现，没有吃透等比数列求和公式的应用条件．[正解](1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12；(2)当x≠1时，Sn＝1＋nxn＋1－n＋1xn1－x2.故Sn＝nn＋12，x＝1，1＋nxn＋1－n＋1xn1－x2，x≠1.[防范措施]1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为字母参数时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，一定要错位对齐，并注意观察未合并项的正负号．易错点4数列综合应用中忽视n的限制条件致误【例4】已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对任意正整数n都有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2012的值．[错解]此题在求解过程中利用c1b1＋c2b2＋c3b3＋…＋cnbn＝an＋1，得c1b1＋c2b2＋c3b3＋…＋cn－1bn－1＝an.两式相减得cnbn＝an＋1－an＝2时，忽视了n≥2，数列{an}的通项公式应为分段函数型，这是易错点．[正解](1)设a1＋d＝b1q，a1＋4d＝b1q2，a1＋13d＝b1q3.由题意，得(1＋d)(1＋13d)＝(1＋4d)2，整理得d2－2d＝0，解得d＝2，d＝0(舍去)，∴an＝2n－1.于是b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，b4＝a14＝27，所以公比q＝b3b2＝3，b1＝1，故bn＝b1qn－1＝3n－1.(2)∵an＝2n－1，bn＝3n－1，∴an＋1＝2n＋1.由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1，得c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an，两式相减，得cnbn＝an＋1－an＝2(n≥2)，即cn＝2bn＝2×3n－1(n≥2)．当n＝1时，由c1b