2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前

2．3等比数列2．3.2等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．掌握等比数列的前n项和公式及其推导过程，并能运用公式解决简单问题．2．掌握等比数列前n项和的性质，并能灵活应用性质解题.1．等比数列的前n项和公式数列{an}是公比为q的等比数列，则当q＝1时，Sn＝___________；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝___________.na1a1－anq1－q2．等比数列前n项和的性质等比数列{an}的公比为q，则有：(1)Sn＋m＝Sn＋___________；(2)在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝___________；(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成___________数列；qnSmq等比(4)一般地，如果a1，q(q≠1)确定，那么Sn＝a11－qn1－q＝a11－q－a11－qqn，设A＝___________，则上式可以写成Sn＝A－Aqn(q≠1)．由此看，对于数列的前n项和Sn＝aqn＋b，当且仅当满足a＝－b≠0，q≠1时，该数列是等比数列，否则不是等比数列．a11－q3．等比数列的前n项和公式与函数的关系(1)当公比q≠1时，我们已经求得等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．1．在公比为正数的等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8等于()A．21B．42C．135D．170解析：a3＋a4a1＋a2＝q2a1＋a2a1＋a2＝q2，∴q2＝4，又q0，∴q＝2.由a1＋a2＝2，得a1＋a1q＝2，∴a1＝23，∴S8＝231－281－2＝170.故选D.答案：D2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.13B．－13C.19D．－19解析：由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，∴q2＝9，∴a1＝a5q4＝981＝19，故选C.答案：C3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.解析：由已知得{an}为等比数列，公比q＝2，∴Sn＝21－2n1－2＝126，∴2n＝64，n＝6.答案：6典例精析规律总结课堂互动探究(1)(2017·北京卷)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.①求数列{an}的通项公式；②求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.【解】①设等差数列{an}的公差为d.因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10.解得d＝2.所以an＝2n－1.②设等比数列{bn}的公比为q.因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9.解得q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝3n－12.(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.①若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；②若T3＝21，求S3.【解】①设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2，得d＋q＝3.(Ⅰ)由a3＋b3＝5，得2d＋q2＝6.(Ⅱ)联立(Ⅰ)和(Ⅱ)解得d＝3，q＝0(舍去)或d＝1，q＝2.因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.②由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由(Ⅰ)得d＝8，则S3＝21；当q＝4时，由(Ⅰ)得d＝－1，则S3＝－6.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6解析：3S3＝a4－2，①3S2＝a3－2，②①－②得3(S3－S2)＝a4－a3，∴3a3＝a4－a3，∴a4＝4a3，∴q＝4.故选B.答案：B(1)(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.(2)等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.【解析】(1)解法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵S6≠2S3，∴q≠1，则a11－q31－q＝74，a11－q61－q＝634，解得a1＝14，q＝2，∴a8＝14×27＝32.解法二：S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3S3，∴634＝74＋q374，∴q3＝8，∴q＝2，代入S3＝a11－231－2＝74，得a1＝14，∴a8＝14×27＝32.(2)由题得S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝S偶S奇＝－160－80＝2.【答案】(1)32(2)2【知识点拨】此类问题的解题通法是利用等比数列前n项和建立方程组，求出a1和q，再求解，这种方法思路自然清晰，但有时运算较为复杂，如果能联想相关性质，运用性质求解，可以提高解题速度，减少解题时间，特别是在客观题解答中，有时能起到事半功倍之功效．在等比数列{an}中，公比q＝2，前87项的和S87＝140，则a3＋a6＋a9＋…＋a87＝()A．20B．56C．80D．136解析：令b1＝a1＋a4＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋…＋a86，b3＝a3＋a6＋…＋a87，b1，b2，b3成等比数列，公比为2，b1＋b2＋b3＝140，∴b1＋2b1＋4b1＝140，∴b1＝20，∴b3＝80，故选C.答案：C一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．解：设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)，由已知a1＝1，q≠1，且有85＝a11－q2n1－q2，170＝a21－q2n1－q2，即1－q2n1－q2＝85，①q1－q2n1－q2＝170.②②÷①得q＝2，∴1－4n1－4＝85.∴4n＝256，∴n＝4.故公比为2，项数为8.(2018·湖北长阳月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝1，S11＝33.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝14，求证数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn.【解】(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1＋d＝1，11a1＋11×102d＝33，∴a1＝12，d＝12，∴an＝12＋(n－1)12＝12n.(2)bn＝14＝14＝12n，∴bn＋1bn＝12n＋112n＝12，∴{bn}是等比数列，q＝12，b1＝14a1＝12，∴Tn＝121－12n1－12＝1－12n.【知识点拨】这类试题是高考中的中档题，要想顺利得解，要求学生要熟练掌握等差、等比数列的基础知识，熟练的运用公式．这类题目是相互关联的，(1)的计算正确与否，直接关系到(2)能否顺利解答，一般情况第(1)问都是常识性的知识，为(2)做铺垫．对此类问题的解答，要做到：解答正确，步骤清晰，过程简捷．已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{2an}的前n项和．解：(1)由题设知公差d≠0，由a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d.解得d＝1或d＝0(舍去)，故{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，∴Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.即学即练稳操胜券基础知识达标1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()A．63B．64C．127D．128答案：C2．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q为()A．－12B．1C．－12或1D.14解析：由S3＝3a3，得a1＋a2＋a3＝3a3，∴2a3－a2－a1＝0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－12，故选C.答案：C3．(2018·安徽蚌埠月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足an0，q1，且a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S6等于()A．63B．48C．42D．36解析：由a3＋a5＝20，a2a6＝a3a5＝64，得a3＝4，a5＝16，又q1，∴a1＝1，q＝2，∴S6＝a11－261－2＝63.故选A.答案：A4．(2019·山西忻州月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，则S6a6＝()A.6332B．3116C.12364D.127128解析：∵Sn＝2an－1，∴当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，∴an＝2an－1，∴数列{an}是等比数列，公比q＝2，∴S6a6＝11－261－21×25＝6332.故选A.答案：A5．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a3＝5ln2，∴2a1＋3d＝5ln2，又a1＝ln2，∴d＝ln2.∴an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)由(1)知an＝nln2，∵ean＝enln2＝eln2n＝2n，∴{ean}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴ea1＋ea2＋…＋ean＝eln2＋eln22＋…＋eln2n＝2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.∴ea1＋ea2＋…＋ean＝2n＋1－2.