2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念及通项公式课

2.2等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．理解等差数列的定义．2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．3．掌握等差中项的概念．知识点一|等差数列的概念阅读教材P36～P37，完成下列问题．‖知识梳理‖等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于1_____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的2_____________，通常用字母d表示．同一个常数公差‖思考辨析‖判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数列是等差数列．()(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(3)数列{an}满足an＋1－an＝1(n1)，则数列{an}是等差数列．()答案：(1)√(2)×(3)×知识点二|等差中项阅读教材P37，完成下列问题．‖知识梳理‖等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做3____________的等差中项．a与b‖小试身手‖1．已知实数m是1和5的等差中项，则m＝()A.5B．±5C．3D．±3解析：选C由2m＝1＋5，∴m＝3.故选C.2．等差数列{an}中，a2＝－4，a1＝－7，则a3为_____________．解析：由2a2＝a1＋a3，∴a3＝2a2－a1＝－8＋7＝－1.答案：－1知识点三|等差数列的通项公式阅读教材P38，完成下列问题．‖知识梳理‖等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则它的通项公式为an＝4_____________.a1＋(n－1)d‖小试身手‖3．等差数列{1－3n}，公差d等于()A．1B．3C．－3D．n解析：选C由an＝1－3n，∴an＋1＝－2－3n，∴d＝an＋1－an＝－3.4．等差数列3，－1，－5，…的通项公式为an＝_____________.解析：∵a1＝3，a2＝－1，∴d＝－1－3＝－4，∴an＝3＋(n－1)×(－4)＝－4n＋7.答案：7－4n剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一等差数列的通项及应用【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.[解](1)∵a5＝－1，a8＝2，∴a1＋4d＝－1，a1＋7d＝2，解得a1＝－5，d＝1.(2)设数列{an}的公差为d.由已知得a1＋a1＋5d＝12，a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.[方法总结]1．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列.1．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝_____________.解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得a1＋2d＝7，a1＋4d＝a1＋d＋6，解得a1＝3，d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1.所以a6＝2×6＋1＝13.答案：132．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5，求{an}的通项an.解：根据题意，列方程组得a1＋d＝1，a1＋4d＝－5，解得a1＝3，d＝－2.所以，通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3－2(n－1)，即an＝5－2n.题型二等差中项的应用【例2】已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．[解]在等差数列{an}中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.∴a2＋a4＝12，a2·a4＝11，解得a2＝11，a4＝1或a2＝1，a4＝11.当a2＝11，a4＝1时，a1＝16，d＝－5.an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.当a2＝1，a4＝11时，a1＝－4，d＝5.an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.[方法总结]三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*).3．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为_____________，_____________，_____________.解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，所以8＋2＝2a，a＋b＝2×2，2＋c＝2b，解得a＝5，b＝－1，c＝－4.答案：5－1－44．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝_____________.解析：由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.答案：21题型三等差数列的判定与证明互动探究【例3】已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列．[证明]因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d.它是一个与n无关的常数，所以数列{bn}是等差数列．探究1若本例条件变为an＝7n＋2，bn＝lgan，问题不变．证明：bn＋1－bn＝lgan＋1－lgan＝(n＋3)lg7－(n＋2)lg7＝lg7.所以数列{bn}是等差数列．探究2若本例条件变为a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，bn＝an2n，问题不变．证明：由于an＋1＝2an＋2n＋1，所以an＋12n＋1－an2n＝2an＋2n＋12n＋1－an2n＝1，∴an2n是以1为首项，1为公差的等差数列．探究3已知1b＋c，1c＋a，1a＋b成等差数列，试证：a2，b2，c2也成等差数列．证明：由已知1b＋c，1c＋a，1a＋b成等差数列，可得2c＋a＝1b＋c＋1a＋b，∴2c＋a＝2b＋a＋cb＋ca＋b，∴(2b＋a＋c)(c＋a)＝2(b＋c)(a＋b)，∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2也成等差数列.[方法总结]1．定义法判定等差数列(1)条件：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)或an－an－1＝d(常数)(n1，n∈N*)．(2)结论：{an}是等差数列．(3)应用范围：通常用于解答题．2．通项公式法判定等差数列(1)条件：数列{an}的通项公式满足一次函数关系式an＝kn＋b(k，b是常数)．(2)结论：{an}是等差数列．(3)应用范围：通常用于选择、填空题．3．等差中项法适用于三数证明成等差数列．2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}成等差数列．知识归纳自我测评堂内归纳提升1．记牢2个重点——等差数列的定义与通项公式(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．(2)若{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d.2．把握3种判定方法等差数列的判定方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an}是等差数列．(2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇒{an}是等差数列．(3)中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}是等差数列．3．辨析1种关系等差数列的通项公式与一次函数的关系等差数列的通项公式一次函数解析式an＝dn＋(a1－d)y＝ax＋b(a≠0)不同点定义域为N＋，图象是一系列均匀分布在同一条直线上的孤立点定义域为R，图象为一条直线相同点当d≠0时，等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式这样，我们得到如下结论：如果数列{an}是等差数列，则an＝an＋b(a，b是常数)；反之，如果数列{an}的通项公式是an＝an＋b(a，b是常数)，则数列{an}是等差数列．「自测检评」1．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为()A．公差为2的等差数列B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列D．非等差数列解析：选A由题意知an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，故选A.2．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选Ca，b，c成等差数列⇔b＝a＋c2，∴b＋2＝a＋c2＋2＝a＋c＋42＝a＋2＋c＋22，即a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．故选C.3．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2019的值是()A．1006B．1007C．1008D．1011解析：选D由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝12，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝12，所以an＝2＋12(n－1)＝n＋32，所以a2019＝2019＋32＝1011.故选D.4．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝_____________.解析：设公差为d，则d＝9－25－1＝74，所以c－a＝2d＝72.答案：725．在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.解：由题意可得a1＋5d＝12，a1＋17d＝36.解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.