2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)课件 新人教B版必修

2．1数列2．1.2数列的递推公式(选学)自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．体会递推公式是数列的一种表示方法．2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.1．数列的递推公式如果已知数列的___________(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的___________与它的前一项___________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的___________公式．第1项任一项anan－1递推2．通项公式与递推公式的区别与联系区别联系通项公式项an是序号n的函数式an＝f(n)递推公式已知a1及相邻项间的关系式都是给出数列的方法，可求出数列中任意一项1．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝3，则a5＝()A．13B．14C．15D．16解析：由题可得an＝3＋an－1，∴a2＝3＋a1＝4，a3＝a2＋3＝7，a4＝a3＋3＝10，a5＝a4＋3＝13.答案：A2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋1an，则a5＝________.解析：a3＝a2＋1a1＝3＋1＝4，a4＝a3＋1a2＝133，a5＝a4＋1a3＝5512.答案：55123．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a2n－1－1(n≥2，n∈N*)，则a4＝________.解析：a2＝a21－1＝0，a3＝a22－1＝－1，a4＝a23－1＝0.答案：0典例精析规律总结课堂互动探究已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝anan＋1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．【分析】由递推关系求指定项，采用“赋值法”逐个求解即可．【解】(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵bn＝anan＋1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝a1a2＝12，b2＝a2a3＝23，b3＝a3a4＝35，b4＝a4a5＝58.∴b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.【知识点拨】已知数列的递推关系式求数列的项时，依次将n的值代入即可．(2018·河北馆陶月考)若数列{an}满足an＋1＝1＋1an，a8＝3421，则a5＝()A.32B.53C.138D.85解析：由a8＝1＋1a7＝3421，得a7＝2113，由a7＝1＋1a6＝2113，得a6＝138，由a6＝1＋1a5＝138，得a5＝85，故选D.答案：D已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋1nn－1(n≥2)；(2)a1＝1，an＋1an＝nn＋1.【分析】先根据递推公式求出数列的前几项，再观察得到数列的一个通项公式．【解】(1)由题可得a2＝1＋12＝32，a3＝32＋13×2＝53，a4＝53＋14×3＝74，a5＝74＋15×4＝95，观察，可得数列的一个通项公式为an＝2n－1n.(2)∵a1＝1，an＋1＝nn＋1an，∴a2＝12a1＝12，a3＝23a2＝23×12＝13，a4＝34a3＝14，a5＝45a4＝15.观察可得数列的一个通项公式为an＝1n.【知识点拨】根据首项及递推公式写出数列的前n项，然后归纳、猜想其通项公式，是本节的重点，在观察的同时要多留意计算过程中的特点，从中寻找规律．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，若an＋2＝2an＋1－an＋2，则an＝()A.15n2－25n＋65B．n3－5n2＋9n－4C．n2－2n＋2D．2n2－5n＋4解析：当n＝2时，代入验证排除A；由题可知a3＝2a2－a1＋2＝5，代入验证，排除D；a4＝2a3－a2＋2＝10，代入验证排除B，故选C.答案：C(2018·河北邯郸月考)已知数列{an}满足an＋1＝11－an，若a1＝12，则a2018＝()A．2B．－2C．－1D.12【解析】a1＝12，∴a2＝11－12＝2，a3＝11－2＝－1，a4＝11＋1＝12，a5＝2，…，∴数列an具有周期性，且T＝3，∴a2018＝a672×3＋2＝a2＝2，故选A.【答案】A【知识点拨】本题主要考查数列的递推公式与公式，注意它的周期性．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2018＝________.解析：∵a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，∴a3＝a2－a1＝5－1＝4，同理可得：a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…，∴an＋6＝an.则a2018＝a6×336＋2＝a2＝5.答案：5即学即练稳操胜券基础知识达标1．已知数列an＋1＝an－1，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列答案：B2．(2018·江西赣州月考)数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2解析：3－1＝2，6－3＝3，10－6＝4，观察可知：an－an－1＝n，n∈N*，n≥2，an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2，故选B.答案：B3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an1＋an(n＝1,2,3，…)，猜想它的通项公式是()A．an＝nB．an＝n2C．an＝1nD．an＝12n－1解析：当n＝1时，a2＝11＋1＝12，排除A，B，D，故选C.答案：C4．已知f(1)＝2，f(n＋1)＝fn＋12(n∈N＋)，则f(4)＝________.解析：f(2)＝f1＋12＝2＋12＝32，f(3)＝32＋12＝54，f(4)＝54＋12＝98.答案：985．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋1(n∈N*)，则a2018＝________.解析：由an＋1＝a2n－2an＋1＝(an－1)2，∵a1＝1，∴a2＝0，a3＝1，a4＝0，…，∴a2018＝0.答案：0