2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 3 从速度的倍数到数乘向量 3.1 数乘向量课件

第二章平面向量§3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．掌握向量数乘的运算及其运算律．2．理解数乘向量的几何意义．3．掌握向量共线的判定定理和性质定理.1．数乘向量一般地，实数λ与向量a的积是一个______，记作____.它的长度为____________，它的方向：当λ＞0时，λa与a的__________；当λ＜0时，λa与a的__________；λ＝0时，λa＝____，方向______．λa|λa|＝|λ||a|向量方向相同方向相反0任意2．λa的几何意义λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段____________，当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在________(λ＞0)或________(λ＜0)上______为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在________(λ＞0)或________(λ＜0)上______为原来的|λ|倍．伸长或压缩原方向反方向伸长原方向反方向缩短练一练(1)对于任意非零向量a，向量a|a|表示与向量a________(填“同”或“反”)向的单位向量．答案：同3．实数与向量积的运算律设a，b为向量，λ，μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)＝__________，(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________.4．线性运算向量的加法、减法和______________的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)．λμaλa＋μaλa＋λb实数与向量积练一练(2)3(2a－4b)＝()A．5a＋7bB．5a－7bC．6a＋12bD．6a－12b解析：原式＝3×2a－3×4b＝6a－12b.答案：D5．向量共线定理(1)判定定理：a是一个__________，若存在一个实数λ，使得______，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得______.b＝λab＝λa非零向量练一练(3)已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线解析：BD→＝BC→＋CD→＝5a＋3b＋3b－3a＝2a＋6b＝2AB→，∴AB→∥BD→，即A、B、D三点共线．答案：B1．从代数角度怎样理解数乘向量？答：从代数角度来看，①λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；②λa＝0的条件是a＝0或λ＝0.2．怎样从几何角度理解向量的数乘？答：从几何的角度来看，对于向量的长度而言，①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到原来的|λ|倍；②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到原来的|λ|倍．3．向量共线定理应注意什么？答：向量共线定理不包含0与0共线的情况，因为a≠0.定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.典例精析规律总结课堂互动探究1向量的数乘的定义类型已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的23倍；(3)－2a与2a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．【解】(1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.(2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的23倍．(3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量．(4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．【方法总结】向量数乘的结果仍是向量，因此需从两方面去理解，一是方向，一是大小．已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确命题的个数为()①λ＜0，a≠0，λa与a的方向一定相反；②λ＞0，a≠0，λa与a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；④λμ＞0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；⑤λμ＜0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．A．2B．3C．4D．5解析：要判断λa与a的方向，必须弄清楚λ的符号，再根据数乘向量的定义判断．根据实数λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②③正确；对于命题④，当λμ＞0时，λ与μ同为正数或同为负数，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，从而λa与μa同向，命题④正确；对于命题⑤，当λμ＜0时，λ与μ异号，则λa与μa一个与a同向，一个与a反向，因而λa与μa的方向一定相反，命题⑤正确．综上所述，本题应选D．答案：D2向量的线性运算类型计算：(1)3(6a＋b)－9a＋13b；(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.【解】(1)3(6a＋b)－9a＋13b＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b＝122a＋32b－a＋34b＝a＋34b－a－34b＝0.(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.【方法总结】向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解．化简下列各式：(1)112[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]；(2)234a－3b＋13b－146a－7b.解：(1)原式＝112(4a＋16b－16a＋8b)＝112[(4－16)a＋(16＋8)b]＝－a＋2b＝2b－a.(2)原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b＝234－32a＋－3＋13＋74b＝2352a－1112b＝53a－1118b.3向量共线定理的应用类型已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．【解】(1)证明：∵AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k－λ＝0，λk－1＝0，∴k＝±1.【方法总结】准确理解共线向量定理应注意以下几点：(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0.虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不成立．(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.(4)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．已知两个向量e1，e2不共线.AB→＝2e1＋λe2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，试求λ的值．解：∵BD→＝CD→－CB→＝2e1－e2－e1－3e2＝e1－4e2，又∵A、B、D三点共线，∴AB→∥BD→，即存在实数μ使AB→＝μBD→，∴2e1＋λe2＝μ(e1－4e2)，∴2＝μ，λ＝－4μ，∴λ＝－8.判断向量a＝－2e，b＝3e是否共线．【错解】∵a＝－2e，b＝3e，∴b＝－32a，即存在λ＝－32，使得b＝λa，b与a共线．【错因分析】对共线向量定理中条件a≠0理解不够深刻，忽视对e是否为零向量的讨论．实际上在解答本类题时要时刻关注一些特殊情况，如零向量等．【正解】当e＝0时，a＝b＝0，有a与b共线．当e≠0时，此时由于b＝－32a，即存在唯一实数λ＝－32，使得b＝λa，从而b与a共线．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一向量的线性运算1.25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)＝()A．2aB．23bC．0D．0解析：原式＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝25－23＋415a＋2615－25－43b＝0·a＋0·b＝0.故选C．答案：C2．式子4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.答案：D知识点二向量线性运算的应用3．如图，向量BP→＝14BA→，若OP→＝xOA→＋yOB→，则x－y＝________.解析：OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋34AB→＝OA→＋34(OB→－OA→)＝14OA→＋34OB→.又∵OP→＝xOA→＋yOB→.∴x＝14，y＝34，x－y＝14－34＝－12.答案：－124．已知实数m，n，向量a，b，给出下列命题：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.其中正确命题的序号是________．答案：①②④5．如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值．解：设BP→＝λBN→，又AN→＝13NC→，∴AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋λBN→＝AB→＋λ(BA→＋AN→)＝(1－λ)AB→＋λAN→＝(1－λ)AB→＋λ4AC→.又AP→＝mAB→＋211AC→，∴1－λ＝m，λ4＝211，∴m＝311.