2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积（第2课时）数量积的坐标表示课

第2章平面向量2.4向量的数量积第2课时数量积的坐标表示学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．(重点)2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．(重点)3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．(重点、难点)核心素养(教师独具)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.自主预习探新知一、平面向量数量积的坐标运算若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝，即两个向量的数量积等于它们．x1x2＋y1y2对应坐标的乘积的和二、向量的长度、夹角、垂直的坐标表示1．向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝_________.2．向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝________________.特别地，若a⊥b，则；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.x2＋y2x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22x1x2＋y1y2＝0思考：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量AB→的模？[提示]∵AB→＝OB→－OA→＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝()A．1B．－1C．5D．－5B[∵a＝(1，－1)，b＝(2,3)，∴a·b＝1×2－3＝－1.]2．已知a＝(－2，x)，b＝(0,1)，若a·b＝3，则x＝________.3[∵a＝(－2，x)，b＝(0,1)，∴a·b＝x＝3.]3．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则|a|＝________，a与b的夹角为________．523π4[∵a·b＝－15，|a|＝－52＋52＝52，|b|＝3，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－1552×3＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.]4．已知a＝(3,1)，b＝(x，－5)，若a⊥b，则x＝________.53[∵a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－5＝0，∴x＝53.]合作探究提素养【例1】已知a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c.思路点拨：先求相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．数量积的坐标运算[解](1)a·b＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a＋b＝(3,8)，2a＋b＝(4,11)，∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100.(3)(a·b)·c＝17c＝(34,17)．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.1．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.[解](1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a·(b·c)＝0·a＝0，(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．【例2】已知A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值．思路点拨：先求AB→，AC→，再代入向量夹角公式求∠BAC的余弦值．向量的夹角[解]∵AB→＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC→＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，AB→·AC→＝3×(－1)＋3×6＝15.又|AB→|＝32＋32＝32，|AC→|＝－12＋62＝37，∴cos∠BAC＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝1532×37＝57474.已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a，b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝152，则a与c的夹角为________．120°[∵a·b＝－10，∴(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝152，∴c·a＝－52.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a||c|＝－525×5＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.][探究问题]1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则其坐标间满足什么等量关系？a⊥b呢？提示：a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.向量平行与垂直的综合应用2．在△ABC中，已知点A，B，C的坐标，如何用向量法求BC边上的高的大小？提示：设高AD交边BC于点D，由B，D，C三点共线及AD→·BC→＝0可求点D的坐标，进而可求|AD→|.【例3】已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．思路点拨：设D(x，y)，由BD→＝λBC→及AD→·BC→＝0可求D，进而求|AD→|.[解]设点D坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴x－3＝－6λ，y－2＝－3λ，∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.②由①②可得x＝1，y＝1，即D点坐标为(1,1)，AD→＝(－1,2)，∴|AD→|＝－12＋22＝5，即|AD→|＝5，D(1,1)．1．(变条件)本例中将“AD为BC边上的高”换为AD→∥BC→，且|AD→|＝5，求D点坐标．[解]设点D坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，由AD→∥BC→得－6(y＋1)＋3(x－2)＝0，即x＝2y＋4，①|AD→|＝x－22＋y＋12＝5，②由①②可得x＝4，y＝0或x＝0，y＝－2，即D点坐标为(4,0)或(0，－2)．2．(变结论)本例条件不变，求AD→与AB→的夹角．[解]由本例解答可知：AD→＝(－1,2)，又AB→＝(1,3)，∴cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22＝－1＋65·10＝22，又θ∈[0，π]，∴θ＝π4.向量的垂直问题主要借助于结论：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．提醒：两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆．教师独具1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题．2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用(1)求平面向量的数量积；(2)解决向量模的问题；(3)解决向量的夹角与垂直问题．3．本节课的易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况.当堂达标固双基1．设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥bC[由题知|a|＝12＋02＝1，|b|＝122＋122＝22，a·b＝1×12＋0×12＝12，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故a－b与b垂直．]2．向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x＝________.4[4(x－5)＋x＝0，∴x＝4.]3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为________．3π4[cosθ＝－1×2＋3×－1－12＋32·22＋－12＝－510×5＝－22，又θ∈[0,2π]，∴θ＝3π4.]4．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．[解](1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)．则AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AD→，即AB⊥AD.(2)∵AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，∴AB→＝DC→.设C点的坐标为(x，y)，则DC→＝(x＋1，y－4)，从而有x＋1＝1，y－4＝1，即x＝0，y＝5，∴C点的坐标为(0,5)．∵BD→＝(－4,2)，∴|BD→|＝25，即矩形ABCD的对角线的长度为25.