2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝()A．(1，－2)B．(1,2)C．(5,6)D．(2,0)解析b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．2．▱ABCD中，AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,3)，对称中心为O，则CO→等于()A．－12，5B．－12，－5C．12，－5D．12，5解析CO→＝－12AC→＝－12(AD→＋AB→)＝－12(1,10)＝－12，－5.3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2,1B．1，－2C．2，－1D．－1,2解析因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．5．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“⊗”为a⊗b＝(ms，nt)．若向量p＝(1,2)，p⊗q＝(－3，－4)，则向量q＝()A．(－3,2)B．(3，－2)C．(－2，－3)D．(－3，－2)解析设向量q＝(x，y)，根据题意可得x＝－3,2y＝－4，解得x＝－3，y＝－2，即向量q＝(－3，－2)，故选D.二、填空题6．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若AB→＝3a，则点B的坐标为________．(5,4)解析设O为坐标原点，因为OA→＝(－1，－5)，AB→＝3a＝(6,9)，故OB→＝OA→＋AB→＝(5,4)，故点B的坐标为(5,4)．7．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→＝________.(－6,21)解析PQ→－PA→＝AQ→＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，因为点Q是AC的中点，所以AQ→＝QC→，所以PC→＝PQ→＋QC→＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．因为BP→＝2PC→，所以BC→＝BP→＋PC→＝3PC→＝3(－2,7)＝(－6,21)．8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.设OC→＝λOA→＋OB→(λ∈R)，则λ＝________.23解析过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以OC→＝OE→＋OB→＝λOA→＋OB→，即OE→＝λOA→，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.三、解答题9．已知向量AB→＝(4,3)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB→＝λBD→(λ∈R)，求λ与y的值．解(1)设B(x1，y1)，因为AB→＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B(3,1)．同理，可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1.所以M－12，－1.(2)由PB→＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，又PB→＝λBD→(λ∈R)，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)．所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP→＝OA→＋tAB→，试问：(1)t满足什么条件时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限内？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解(1)AB→＝(3,3)，OA→＝(1,2)，OP→＝OA→＋tAB→＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－13.若点P在第二象限内，则1＋3t0，2＋3t0，解得－23t－13.所以当t＝－23时，点P在x轴上；当t＝－13时，点P在y轴上；当－23t－13时，点P在第二象限内．(2)OA→＝(1,2)，PB→＝PO→＋OB→＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→，即3－3t＝1，3－3t＝2无解，所以四边形OABP不能成为平行四边形．B级：能力提升练1．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON的阴影内，满足OP→＝xOA→＋yOB→，则实数对(x，y)可以是()A．12，－13B．14，12C．－23，－13D．－34，25解析由图观察并根据平面向量基本定理，可知x0，y0.故选C.2．如图所示，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若AM→＝xAB→，AN→＝yAC→.试问：1x＋1y是否为定值？解设AB→＝a，AC→＝b，则AM→＝xa，AN→＝yb，AG→＝12AD→＝14(AB→＋AC→)＝14(a＋b)．所以MG→＝AG→－AM→＝14(a＋b)－xa＝14－xa＋14b，MN→＝AN→－AM→＝yb－xa＝－xa＋yb.因为MG→与MN→共线，所以存在实数λ，使MG→＝λMN→.所以14－xa＋14b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.因为a与b不共线，所以14－x＝－λx，14＝λy.消去λ，得1x＋1y＝4，所以1x＋1y为定值．