2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 2.3.2

第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律学习目标核心素养1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点)2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．(重点)3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题．(重点)1．通过向量的夹角、向量数量积概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．通过向量数量积的应用，培养学生的数学运算核心素养.自主预习探新知1．向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则＝θ叫做向量a与b的夹角.范围________________θ＝____a与b同向θ＝_____a与b反向特例θ＝_____a与b垂直，记作，规定可与任一向量垂直∠AOB0°≤θ≤180°0°a⊥b零向量180°90°2.向量的数量积向量在轴上的正射影．已知向量a和轴l，如图．(1)正射影的概念：作OA→＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则_________叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)；向量O1A1→(2)正射影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在上的数量或在上的数量.OA→＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝.2.向量的数量积轴l轴l的方向|a|cosθ3．平面向量数量积的定义_______________叫做向量a和b的数量积，记作．4．数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝．|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉|a|cos〈a·e〉思考1：向量的数量积与数乘向量的区别是什么？[提示]向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别．(2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0.思考2：a·b＝0与ab＝0的区别是什么？[提示](1)意义和表达方式不同．a·b表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”．(2)推出的结果不同．由a·b＝0可推出以下四种可能①a＝0，b＝0，②a＝0，b≠0，③a≠0，b＝0，④a≠0，b≠0，但a⊥b.而ab＝0可推出a与b中至少有一个为0.(3)|a|＝a·a.(4)cosθ＝a·b|a|·|b|.(|a|·|b|≠0)(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.当且仅当a∥b时等号成立．1．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为π3，则a在b方向上的投影为()A.332B.322C.12D.32D[向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝3×cosπ3＝32.故选D.]2．在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，且b·a＝0，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定C[在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．]3．如图，在△ABC中，AC→，AB→的夹角与CA→，AB→的夹角的关系为________．互补[根据向量夹角定义可知向量AB→，AC→夹角为∠BAC，而向量CA→，AB→夹角为π－∠BAC，故二者互补．]合作探究提素养与向量数量积有关的概念【例1】(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；②如果向量a与b满足a·b0，则a与b所成的角为钝角；③△ABC中，如果AB→·BC→＝0，那么△ABC为直角三角形；④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的正射影的数量为________，b在a方向上的正射影的数量为________．(3)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则BA→·BC→＝________.[思路探究]根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1)③④(2)－125－4(3)8[(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cosθ(θ为向量a，b的夹角)．①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；②若a·b0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；③由AB→·BC→＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．(2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cosθ＝－12，所以向量a在向量b方向上的正射影的数量为|a|·cosθ＝a·b|b|＝－125＝－125；向量b在向量a方向上的正射影的数量为|b|·cosθ＝a·b|a|＝－123＝－4.(3)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.因为AB＝AC，所以BD＝12BC＝2，于是|BA→|cos∠ABC＝|BD→|＝12|BC→|＝12×4＝2，所以BA→·BC→＝|BA→||BC→|cos∠ABC＝4×2＝8.]1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b.1．给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的是________．(填序号)①②⑥[由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b，所以④不正确；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正确；⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b0，因此⑦错；|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的正射影的数量，而射投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．]数量积的基本运算【例2】已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积．[思路探究](1)当a∥b时，a与b夹角可能为0°或180°.(2)当a⊥b时，a与b夹角为90°.(3)若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b|cosθ(θ为a，b夹角)求值．[解]设向量a与b的夹角为θ，(1)a∥b时，有两种情况：①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|，cos0°＝20；②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|cos180°＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝0.(3)当a与b夹角为135°时，a·b＝|a||b|cos135°＝－102.1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.2．非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|.2．已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)AB→·AC→；(2)AB→·BC→；(3)BC→·AC→.[解](1)AB→与AC→的夹角为60°，∴AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos60°＝1×1×12＝12.(2)AB→与BC→的夹角为120°，∴AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos120°＝1×1×－12＝－12.(3)BC→与AC→的夹角为60°，∴BC→·AC→＝|BC→||AC→|cos60°＝1×1×12＝12.与向量模有关的问题【例3】已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a与b的夹角为120°.求向量b的模．[解]因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2，将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，所以|b|＝3.1．(变结论)本例题设条件不变，求b在a方向上的射影的数量．[解]由例题解析可知|b|＝3.因为|b|cos〈a，b〉＝3×cos120°＝－32.所以b在a方向上的射影的数量为－32.2．(变条件)将本例中“a与b的夹角θ为120°”改为“|a·b|＝3”．如何求a与b的夹角θ？[解]易求|a|＝2，|b|＝3.因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|＝3，所以|cosθ|＝12，故cosθ＝±12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3或2π3.1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系．2．利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．平面向量数量积的性质[探究问题]1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？[提示]a⊥b⇔a·b＝0.2．当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？[提示]当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a·a.3．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？[提示]|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.当且仅当|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cosθ＝a·b|a||b|.【例4】已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？[思路探究]由条件计算a·b，当c⊥d时，c·d＝0列方程求解m.[解]由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.由c⊥d，知c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝2914，即m＝2914时，c与d垂直．1．已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立．2．设a与b夹角为θ，利用公式cosθ＝a·b|a||b|可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π]．4．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．－13[设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2，又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cosθ＝13|b|2＋12|b|2cosθ，即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cosθ，故有cosθ＝－13.]当堂达标固双基1．已知点A，B，C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值是()A．－25B．25C．－24D．24A[因为|AB→|2＋|BC→|2＝9＋16＝25＝|CA→|2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝AB→·BC→＋CA→·(BC→＋AB→)＝0＋CA→·AC→＝－AC→2＝－25.]2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6B[设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.故选B.]3．已知|a|＝4，e为单位向量，a