2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课后课时精练课件 新人

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC→＝e1，DC→＝e2，则OC→＝()A．12(e1＋e2)B．12(e1－e2)C．12(2e2－e1)D．12(e2－e1)解析因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC→＝e1，DC→＝e2，所以OC→＝12(BC→＋DC→)＝12(e1＋e2)．故选A．2．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，又AP→＝tAB→，则t的值为()A．13B．23C．12D．53解析CP→－CA→＝13(CB→－CA→)＝13AB→，即AP→＝13AB→.又∵AP→＝tAB→，∴t＝13.故选A．3．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝3PA→，则()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝14解析由已知BP→＝3PA→，得OP→－OB→＝3(OA→－OP→)，整理，得OP→＝34OA→＋14OB→，故x＝34，y＝14.4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且AFFD＝15，连接CF并延长交AB于E，则AEEB等于()A．112B．13C．15D．110解析设AB→＝a，AC→＝b，AEEB＝λ.∵AFFD＝15，∴CF→＝CA→＋AF→＝CA→＋16AD→＝112(AB→＋AC→)－AC→＝112AB→－1112AC→＝112a－1112b．CE→＝CA→＋AE→＝CA→＋λ1＋λAB→＝λ1＋λAB→－AC→＝λ1＋λa－b．又CF→与CE→共线，可设CF→＝kCE→，则112a－1112b＝kλ1＋λa－b，∴112＝λk1＋λ，－1112＝－k，得k＝1112，λ＝110.故选D．5．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP→＝1312OA→＋12OB→＋2OC→，则点P一定为()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．△ABC的重心D．AB边的中点解析∵O是△ABC的重心，∴OA→＋OB→＋OC→＝0，∴OP→＝13－12OC→＋2OC→＝12OC→，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B．二、填空题6．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋1－5k2e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.－2或13解析由题设，知k22＝1－5k23，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或13.7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ＝________.23解析在△ABH中，BH＝12AB＝1，∵BC＝3，∴BH＝13BC．∴AH→＝AB→＋BH→＝AB→＋13BC→.∵M为AH的中点，∴AM→＝12AH→＝12AB→＋16BC→.∵AM→＝λAB→＋μBC→，∴λ＋μ＝12＋16＝23.8．如图，在正方形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BD→＝c，则在以a，b为基底时，AC→可表示为________，在以a，c为基底时，AC→可表示为________．a＋b2a＋c解析以a，c为基底时，将BD→平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．三、解答题9．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．解如图，设AC→＝a，BC→＝b，D，E，F分别为三角形ABC三边的中点，则AB→＝a－b，AD→＝a－12b，BE→＝－12a＋b．设AD与BE交于点G1，且AG1＝λAD→，BG1→＝μBE→，则AG1→＝λa－λ2b，BG1→＝－μ2a＋μb．因为AG1→＝AB→＋BG1→＝1－μ2a＋(μ－1)b．所以λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，即AG1→＝23AD→.再设AD与CF交于点G2，同理可得AG2→＝23AD→.故点G1，G2重合，即AD，BE，CF交于同一点，故三角形的三条中线交于一点．10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得λ＝1，3λ＝－2⇒λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1⇒m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b．(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.B级：能力提升练1．如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为()A．12，12B．23，23C．13，13D．23，12解析∵CF→＝23CD→，CD→＝12a－b．∴AF→＝AC→＋CF→＝b＋23CD→＝b＋2312a－b＝13a＋13b，故x＝13，y＝13.2．如图，△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于G，求AGGD及BGGE的值．解设AGGD＝λ，BGGE＝μ.∵BD→＝DC→，即AD→－AB→＝AC→－AD→.∴AD→＝12(AB→＋AC→)．又∵AG→＝λGD→＝λ(AD→－AG→)，∴AG→＝λ1＋λAD→＝λ21＋λAB→＋λ21＋λAC→.又∵BG→＝μGE→，即AG→－AB→＝μ(AE→－AG→)，∴(1＋μ)AG→＝AB→＋μAE→，AG→＝11＋μAB→＋μ1＋μAE→.又AE→＝23AC→，∴AG→＝11＋μAB→＋2μ31＋μAC→.∵AB→，AC→不共线，∴λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解之，得λ＝4，μ＝32.∴AGGD＝4，BGGE＝32.