2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2 圆与方程 2.2.1 圆的方程 第

2.2圆与方程2．2.1圆的方程第一课时圆的标准方程预习课本P107～108，思考并完成以下问题1．圆的定义是怎样的？一个圆由哪些因素确定？2．圆的标准方程是什么？若求一个圆的标准方程，需要确定什么？3．点和圆有哪些位置关系？如何判定？[新知初探]1．圆的标准方程(1)圆的定义：在平面内，到的距离等于的点的叫圆．(2)确定一个圆最基本的要素是和．(3)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中为圆心，为半径．定点定长集合圆心半径(a，b)r2．点和圆的位置关系点M(m，n)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系的判定方法如表：判定方法位置关系几何法：用MC与r作比较代数法：用圆的标准方程来判定点M在圆C上CM＝点M在圆C外CM点M在圆C内CMrrr(m－a)2＋(n－b)2＝r2(m－a)2＋(n－b)2r2(m－a)2＋(n－b)2r2[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()√×2．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为()A．4x－y＝0B．4x＋y＝0C．x－4y＝0D．x＋4y＝0解析：由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.答案：B3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.答案：(x＋2)2＋y2＝44．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)与圆的位置关系是________．答案：点P在圆内直接法求圆的标准方程[典例]求下列各圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为2；(2)圆心为点C(8，－3)，且经过点P(5,1)；(3)以P1(1,2)，P2(－3,4)为直径的端点．[解](1)因为圆心为(0,0)，半径为2.故圆的标准方程为x2＋y2＝2.(2)由题意可知，圆的半径r＝PC＝8－52＋－3－12＝5，所以圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.(3)由题意可知，P1，P2的中点P的坐标为(－1,3)．又P1P2＝1＋32＋2－42＝25，所以圆的半径为12P1P2＝5.即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝5.(1)求圆的标准方程的关键是确定圆心坐标和圆的半径，用直接法求圆的标准方程，就是根据条件分别求出圆心的坐标和半径，代入标准方程求解．(2)求圆心的坐标有时需要应用圆的下列几何性质：①圆的弦的垂直平分线必过圆心；②圆心与切点的连线垂直于圆的切线；③圆心到切线的距离等于圆的半径．[活学活用]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，求圆C的标准方程．解：法一：设圆心为(a,0)，则a－52＋0－12＝a－12＋0－32，解得a＝2，故r＝2－52＋0－12＝10.∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.法二：因为A(5,1)，B(1,3)，所以AB的中点坐标为(3,2)，AB的斜率为－12，所以AB的中垂线的方程为y－2＝2(x－3)，令y＝0得x＝2，即圆心为(2,0)，r＝2－52＋0－12＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.待定系数法求圆的标准方程[典例]已知圆心为C的圆经过点A(0,2)和B(－3,3)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．求圆C的标准方程．[解][法一待定系数法]设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则a＋b＋5＝0，0－a2＋2－b2＝r2，－3－a2＋3－b2＝r2，解得a＝－3，b＝－2，r＝5.所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.[法二几何法]因为A(0,2)，B(－3,3)，所以线段AB的中点坐标为－32，52，直线AB的斜率kAB＝3－2－3－0＝－13，故线段AB的垂直平分线方程是y－52＝3x＋32，即3x－y＋7＝0.由3x－y＋7＝0，x＋y＋5＝0，得x＝－3，y＝－2，所以圆心C的坐标为(－3，－2)．所以圆的半径r＝AC＝0＋32＋2＋22＝5，所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.(1)待定系数法就是设出圆的标准方程，由条件列方程组求出a，b，r，从而得出标准方程的思想方法．通常情况下有几个未知数就需要几个方程．(2)待定系数法求圆的标准方程是通用方法，有时通过特定的条件直接求出圆心的坐标和半径的长，用的是几何方法，是特殊方法．[活学活用]已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的方程．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以5－a2＋1－b2＝r2，7－a2＋－3－b2＝r2，2－a2＋－8－b2＝r2，解得a＝2，b＝－3，r2＝25.故所求△ABC的外接圆方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.点与圆位置关系的判定[典例]已知两点M(3,8)和N(5,2)，圆C以MN为直径．(1)求圆C的方程；(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？[解](1)法一：设圆心C(a，b)，半径r，则由C为MN的中点得a＝3＋52＝4，b＝8＋22＝5，由两点间的距离公式得r＝CM＝4－32＋5－82＝10.∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.法二：∵直径所对的圆周角是直角，∴对于圆上除M，N外任意一点P(x，y)，有PM⊥PN，即kPM·kPN＝－1，∴y－8x－3·y－2x－5＝－1(x≠3且x≠5)．化简得x2＋y2－8x－10y＋31＝0，即(x－4)2＋(y－5)2＝10.又∵M(3,8)，N(5,2)的坐标满足方程，∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.(2)分别计算点到圆心的距离CP1＝4－22＋5－82＝1310，CP2＝4－32＋5－22＝10，CP3＝4－62＋5－72＝810，因此，点P2在圆上，点P1在圆外，点P3在圆内．(1)判定点与圆的位置关系，可以判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点坐标代入圆的方程判断，方法如下：点A(x0，y0)到圆心C(a，b)的距离为AC＝x0－a2＋y0－b2.①当点A(x0，y0)在圆上时，AC＝r，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；②当点A(x0，y0)在圆内时，ACr，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2；③当点A(x0，y0)在圆外时，ACr，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2.(2)圆外一定点到圆上的点的距离的最大值就是该点到圆心的距离再加上半径；圆外一定点到圆上的点的距离的最小值就是该点到圆心的距离再减去半径．(3)经过圆内一定点，最长的弦是经过该点的圆的直径，最短的弦是过该点且垂直于过该点的直径的弦．[活学活用]已知点A(3,5)，B(7,2)，圆C以AB为直径．(1)求圆C的标准方程；(2)已知点P－3，52，若点Q在圆C上，求PQ的最大值和最小值．解：(1)设圆心C(a，b)，半径为r，由题意得C为AB的中点，即a＝3＋72＝5，b＝5＋22＝72.由两点间距离公式得r＝AC＝5－32＋72－52＝52.故所求圆的标准方程为(x－5)2＋y－722＝522.(2)由P－3，52及圆心C5，72，知PC＝5＋32＋72－522＝65，所以PQmax＝PC＋r＝65＋52.PQmin＝PC－r＝65－52.圆的标准方程的应用[典例]如图所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2m时，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少m？(结果保留两位小数)[解]以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图所示，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，将A(6，－2)代入方程得，r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1m后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)．将A′(x0，－3)代入圆的方程，求得x0＝51，∴水面下降1m，水面宽为2x0＝251≈14.28(m)．应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题的一般思路：根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解．坐标系选择尤其重要，尽量利用对称性建系，可以使得运算比较简洁．[活学活用]有强弱两个喇叭分别在O，A两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60m，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度相等(提示：物理学中，声音强度与距离的平方成反比)?解：以OA所在的直线为x轴，以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示．设在点P(x，y)处听到O，A两处的喇叭声音强度相等，则OP2PA2＝14，即x2＋y2x－602＋y2＝14，整理得(x＋20)2＋y2＝402，由此可知：当P在以(－20,0)为圆心，以40为半径的圆周上时，听到O，A两处传来的喇叭声音强度相等．