2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2 圆与方程 2.2.1 圆的方程 第

第二课时圆的一般方程预习课本P109～110，思考并完成以下问题1．圆的一般方程是什么？方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中系数满足什么条件才表示圆？2．已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？3．圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？[新知初探]1．圆的一般方程的定义当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程为圆的一般方程．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝02．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形方程条件方程解的情况图形没有实数解不表示任何图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有一个实数解表示点－D2，－E2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0无数个表示以－D2，－E2为圆心，以为半径的圆D2＋E2－4F＜0D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F＞0D2＋E2－4F2[点睛]圆的一般方程与标准方程的区别及联系(1)圆的标准方程明确地表达了圆的圆心与半径，而一般方程则表现出了明显的代数结构形式，经过一定的代数运算才可以求出圆心与半径．(2)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程．将圆的一般方程配方后即得标准方程．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(2)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是1，12.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()√×√2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为－－42，－62，即(2，－3)．答案：D3．圆心为(1,1)且过原点的圆的一般方程是________．答案：x2＋y2－2x－2y＝0圆的一般方程的理解[典例]判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．[解]法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝12D2＋E2－4F＝5|m－2|.法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，表示圆的方程．此时，圆心(2m，－m)，半径r＝5|m－2|.形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．[活学活用]若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值范围是________．解析：法一：由方程x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程可知D＝－1，E＝1，F＝－m，∴D2＋E2－4F＝(－1)2＋12－4(－m)＞0，得m＞－12.法二：原方程可化为x－122＋y＋122＝m＋12，令m＋12＞0，得m＞－12.答案：－12，＋∞待定系数法求圆的一般方程[典例]已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，－1)，C(－3,5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M(1,2)，N(4,5)，Q(2,3)与圆的位置关系．[解](1)法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．∵此圆过A，B，C三点，∴12＋32＋D＋3E＋F＝0，－12＋－12－D－E＋F＝0，－32＋52－3D＋5E＋F＝0，解得D＝4，E＝－4，F＝－2.∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则1－a2＋3－b2＝r2，①－1－a2＋－1－b2＝r2，②－3－a2＋5－b2＝r2，③②－①，③－①得a＋2b－2＝0，2a－b＋6＝0，解得a＝－2，b＝2.∴r2＝10.∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法三：AB的中垂线方程为y－1＝－12(x－0)，BC的中垂线方程为y－2＝13(x＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．设圆半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法四：由于kAB＝－1－3－1－1＝2，kAC＝5－3－3－1＝－12，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2,2)，半径r＝12BC＝10，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.(2)判断M，N，Q与圆的关系：∵M(1,2)，∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－10，∴点M(1,2)在圆内．∵N(4,5)，∴42＋52＋4×4－4×5－2＝350，∴点N(4,5)在圆外．∵Q(2,3)，∴22＋32＋4×2－4×3－2＝70，∴点Q(2,3)在圆外．(1)用待定系数法求圆的方程时：①如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.②如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.(2)圆的标准方程与圆的一般方程之间的关系，要求圆的一般方程也可以先求标准方程，再化为一般方程．[活学活用]一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②1＋9－D＋3E＋F＝0.③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.求动点的运动轨迹问题[典例]已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M的轨迹方程；[解]设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P＝MMA＝12MB.由两点距离公式，点M适合的条件可表示为x－22＋y2＝12x－82＋y2，平方后再整理，得x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程．(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．[解]设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．由于A(2,0)，且N为线段AM的中点，所以x＝2＋x12，y＝0＋y12，所以有x1＝2x－2，y1＝2y.①由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，所以点M坐标(x1，y1)满足：x21＋y21＝16.②将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示动点P的坐标；(2)写出适合条件的点P的集合M＝{P|M(P)}；(3)用坐标表示条件M(P)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．[活学活用]在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；解：设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.解：设P(x0，y0)，由已知得|x0－y0|2＝22.又P在曲线y2－x2＝1上，从而得|x0－y0|＝1，y20－x20＝1.由x0－y0＝1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝－1.此时，圆P的半径r＝3.由x0－y0＝－1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝1.此时，圆P的半径r＝3.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．