2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.6 点到直线的

2．1.6点到直线的距离预习课本P101～105，思考并完成以下问题1．如何求平面内一点到一条直线的距离？2．点到直线的距离公式是什么？3．两条平行线间的距离公式是什么？[新知初探]1．点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离记为d，则d＝.|Ax0＋By0＋C|A2＋B22．两条平行线间的距离(1)两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．(2)求法：两条平行直线间的距离可以转化为．(3)公式：直线l1：Ax＋By＋C1＝0，直线l2：Ax＋By＋C2＝0，d＝.点到直线的距离|C1－C2|A2＋B2[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.()(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.()(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为|m－2n|2.()×√√2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B．2C．3D．5解析：d＝|－5|5＝5.答案：D3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1B．2C．3D．2解析：由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为|1－－1|12＋12＝2.答案：B求点到直线的距离[典例]求点P(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.[解](1)由点到直线的距离公式知d＝|2×－1＋2－10|22＋12＝105＝25.(2)因为直线x＝2与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－1－2|＝3.(3)因为直线y－1＝0与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|2－1|＝1.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A．2B．2－1C．2＋1D．2－2解析：由点到直线的距离公式，得1＝|a－2＋3|1＋1，即|a＋1|＝2.∵a＞0，∴a＝2－1，故选B.答案：B2．点P(2，m)到直线l：5x－12y＋6＝0的距离为4，则m的值为________．解析：由d＝|5×2－12m＋6|52＋122＝4，知m＝－3或m＝173.答案：－3或173求两条平行线间的距离[典例]求两条平行线l1：3x＋4y－5＝0和l2：6x＋8y－9＝0间的距离．[解]法一：在直线l1：3x＋4y－5＝0上任取一点，不妨取点P(3，－1)，则点P(3，－1)到直线l2：6x＋8y－9＝0的距离即为两平行直线间的距离．因此，d＝|3×6－8×1－9|62＋82＝110.法二：把l2：6x＋8y－9＝0化为3x＋4y－92＝0，由两平行直线间的距离公式，得d＝－5－－9232＋42＝110.求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)直接利用两平行线(Ax＋By＋C1＝0和Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2))间的距离公式d＝|C2－C1|A2＋B2，但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．[活学活用]已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，求直线l的方程．解：设所求的直线方程为2x－y＋c＝0，分别在l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0上取点A(0,3)和B(0，－1)，则此两点到2x－y＋c＝0的距离相等，即|－3＋c|22＋－12＝|1＋c|22＋－12，解得c＝1，直线l的方程为2x－y＋1＝0.距离公式的综合应用[典例]已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．[解](1)法一：联立2x＋y－5＝0，x－2y＝0⇒交点P(2,1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴|5k＋1－2k|k2＋－12＝3，解得k＝43，所以l的方程为y－1＝43(x－2)，即4x－3y－5＝0.而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，故所求l方程为4x－3y－5＝0或x＝2.法二：设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴|52＋λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或12，∴l方程为4x－3y－5＝0或x＝2.(2)由2x＋y－5＝0，x－2y＝0，解得交点P(2,1)，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)，∴dmax＝PA＝5－22＋0－12＝10.解决与距离相关的问题步骤(1)化直线方程为一般式或设直线的一般式方程；(2)利用点到直线的距离公式建立等量关系求解待定系数，解题过程中注意数形结合思想的应用．[活学活用]已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________．解析：当AB最短时，AB与直线x＋y＝0垂直．又A(0,1)，∴AB：x－y＋1＝0，联立x＋y＝0，解得x＝－12，y＝12，故点B的坐标为－12，12.答案：－12，12