2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.3 两条直线的

第二课时两条直线的垂直预习课本P90～92，思考并完成以下问题1．如何判断两条直线互相垂直？2．若两条直线互相垂直，这两条直线的斜率有什么关系？[新知初探]两条直线的垂直[点睛]两直线垂直与斜率的关系(1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数．()(2)过点(1,1)且与直线x＝2垂直的直线的方程为y＝1.()×√2．已知直线－6x＋2y＋3＝0与直线x＋3y－2＝0，则两直线的位置关系是()A．重合B．平行C．垂直D．相交解析：设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝3，k2＝－13，所以两直线垂直．答案：C3．已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A(－2，－1)且与直线l垂直，则直线l1的方程是___________．答案：x＋y＋3＝04．直线l1：ax－4y＋3＝0，直线l2：2x＋ay－4＝0，l1与l2垂直，则实数a的值为_____．答案：0两条直线垂直的判定[典例]判断下列各题中直线l1与l2是否垂直．(1)直线l1：2x－4y＋7＝0，直线l2：2x＋y－5＝0；[解]法一：k1＝12，k2＝－2，∵k1·k2＝12×(－2)＝－1，∴l1与l2垂直．法二：因为2×2＋(－4)×1＝0，所以l1与l2垂直．(2)直线l1：y－2＝0，直线l2：x－ay＋1＝0.[解]法一：当a＝0时，直线l2方程为x＝－1，即l2斜率不存在，又直线l1的斜率为0，故两直线垂直．当a≠0时，直线l2的斜率为1a，又直线l1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．法二：因为0×1＋1×(－a)＝－a，所以当a＝0时，两直线垂直；当a≠0时，两直线不垂直．判断两直线垂直的步骤法一：法二：若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.[活学活用]判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．解：(1)k1＝3－－41－－3＝74，k2＝1－－33－－4＝47，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．(2)k1＝－10，k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝40－4010－－10＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.应用两直线垂直求参数的值[典例]三条直线3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值．[解](1)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2x－3m2y＋18＝0垂直时，有6－6m2＝0，∴m＝1或m＝－1.若m＝1时，直线2mx－3y＋12＝0也与直线3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能构成三角形，故m＝1应舍去．∴m＝－1.(2)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有6m－6＝0，得m＝1(舍)．(3)当直线2x－3m2y＋18＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有4m＋9m2＝0，∴m＝0或m＝－49.经检验，这两种情形均满足题意．综上所述，所求的结果为m＝－1或0或－49.此类问题常依据两直线垂直的条件列关于参数的方程或方程组求解．[活学活用]已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值.解：k2＝3－a－22－－1＝5－a3.当k2＝0时，即a＝5时，l1垂直于x轴，所以两直线垂直．当k2≠0时，k1＝－3－aa－2－3＝3＋a5－a，由k1·k2＝－1，得a＝－6.故a的值为－6或5.由垂直关系求直线方程[典例]已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程．[解]法一：因为kl·k1＝－1，所以k1＝43，故直线l1的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.法二：设所求直线l1的方程为4x－3y＋m＝0.因为l1经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2.故l1的方程为4x－3y－2＝0.与已知直线垂直的直线的求法(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y＝kx＋b垂直，则可设直线l的方程为y＝－1kx＋m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．(2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直，则可设l的方程为Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．[活学活用]求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的三角形AOB周长为10的直线方程．解：设所求直线方程为3x＋4y＋b＝0.令x＝0，得y＝－b4，即A0，－b4；令y＝0，得x＝－b3，即B－b3，0.又∵三角形周长为10，即OA＋OB＋AB＝10，∴－b4＋－b3＋－b42＋－b32＝10.解得b＝±10，故所求直线方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.