2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.2 直线的方程

2．1.2直线的方程第一课时直线的点斜式方程预习课本P80～82，思考并完成以下问题1．确定直线的几何要素是什么？2．直线的斜截式方程与点斜式方程有什么联系？3．直线的斜截式方程和一次函数的解析式有什么异同？[新知初探]直线的点斜式和斜截式点斜式斜截式条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y轴上的截距b方程图形适用范围不适合的直线不适合的直线y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b与x轴垂直与x轴垂直[点睛](1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在，只有这两个条件都具备才可以写出点斜式方程．(2)若直线的斜率不存在，则过定点P(x0，y0)的直线应为x＝x0.(3)斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0，y＝b时不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．(4)斜截式中截距b的含义：截距b不是距离，而是坐标(可以取任意实数)，截距b其实就是直线与y轴交点的纵坐标．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)经过点(2,1)的所有直线都可以表示为y－1＝k(x－2)，k∈R.()(2)直线的截距式方程与一次函数的解析式意义相同.()(3)直线的点斜式方程也可写成y－y0x－x0＝k.()(4)无论实数k如何变化，直线kx＋y－1＝0始终经过定点(0,1)．()×××√2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.答案：C3．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1B．y＝1C．y－1＝2(x＋1)D．y－1＝22(x＋1)解析：由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是2.由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝2(x＋1)．答案：C4．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于________．答案：2－3利用点斜式求直线方程[典例]求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1,2)；[解]∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)在x轴上的截距是－5.[解]∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.已知直线上一点的坐标以及直线斜率(或直线的倾斜角)或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.求直线的方程，如无特别要求，习惯上最后的方程结果写成Ax＋By＋C＝0的形式．[活学活用]已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求直线AB的点斜式方程．解：因为A(－1,2)，B(m,3)，当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，没有点斜式方程；当m≠－1时，直线AB的斜率k＝1m＋1，直线AB的点斜式方程为y－2＝1m＋1(x＋1).利用斜截式求直线方程[典例]根据条件，写出直线的方程：(1)经过点A(－1,2)，在y轴上的截距为－2；[解]由题意，设直线方程为y＝kx－2，由于点A(－1,2)在直线上，所以2＝－k－2，k＝－4，所以直线方程为y＝－4x－2.(2)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等．[解]由题意，设l的方程为y－4＝k(x－3)，令x＝0，得y＝4－3k，令y＝0，得x＝3－4k，∵直线l在两轴上的截距相等，∴4－3k＝3－4k.解得k＝43或k＝－1.∴所求直线方程为y－4＝43(x－3)或y－4＝－(x－3)，即4x－3y＝0或x＋y－7＝0.(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．(2)截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可正，可负，还可为零．[活学活用]已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程：(1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(m≠n)；(2)直线l与坐标轴围成等腰三角形．解：(1)由题意得直线l的斜率为k＝m－nn－m＝－1，所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2.(2)因为直线l在y轴上的截距为－2，所以l与y轴交点P(0，－2)，而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形，所以l与x轴交点Q(－2,0)或(2,0)．由过两点的斜率公式得k＝－1或1，所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2或y＝x－2.直线方程的简单综合[典例]求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．[解][法一点斜式]设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．当x＝0，y＝4＋3k，当y＝0，x＝－4k－3，∴3k＋4－4k－3＝12，即3k2－11k－4＝0，∴k＝4或k＝－13.直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－13(x＋3)，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.[法二斜截式]设直线方程为y＝kx＋b，∵直线经过A(－3,4)，∴3k－b＋4＝0.①∵在两坐标轴上的截距和为12，∴b＋－bk＝12.②由①②得k＝4，b＝16或k＝－13，b＝3.直线方程为y＝4x＋16或y＝－13x＋3，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.利用待定系数法求直线方程(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率．(2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y轴上截距．[活学活用]求与两坐标轴围成的三角形的周长为9，且斜率为－43的直线方程．解：设直线l的方程为y＝－43x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝34b.由题意，得|b|＋34|b|＋b2＋34b2＝9.∴|b|＋34|b|＋54|b|＝9，∴b＝±3.∴所求直线方程为y＝－43x＋3或y＝－43x－3.