2019-2020学年高中数学 第2章 空间向量与立体几何 4 用向量讨论垂直与平行课件 北师大版选

第二章空间向量与立体几何§4用向量讨论垂直与平行学习目标：1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系．(重点)2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．(重点)3.能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力．(难点)自主预习探新知1．空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔_______⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔_________面面平行α∥β⇔μ∥v⇔_____________μ＝kv(k∈R)a∥ba·μ＝02.立体几何中垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面平面α，β的法向量分别为n1，n2.(1)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔．(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥n1⇔．(3)面面垂直：α⊥β⇔n1⊥n2⇔．n1·n2＝0a·b＝0a＝kn1(k∈R)思考：用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？[提示]需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量的平行或垂直的关系．1.判断正误(1)直线上任意两个不同的点A、B表示的向量AB→都可作为该直线的方向向量．()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行．()(3)两个平面垂直则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．()[答案](1)√(2)√(3)×2．若a＝(1，2，3)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A．(0，1，2)B．(3，6，9)C．(－1，－2，3)D．(3，6，8)B[∵(3，6，9)＝3(1，2，3)＝3a，a⊥α，∴(3，6，9)可作平面的一个法向量．]3．若直线l的方向向量是u＝(1，3，0)，平面α的法向量是v＝(－3，1，5)，则直线l与平面α的位置关系为________．lα或l∥α[∵u·v＝1×(－3)＋3×1＋0×5＝0，∴u⊥v，∴lα或l∥α.]4．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝－3，1，95，则平面α，β的位置关系为________．垂直[u·v＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×95＝0.所以u⊥v，所以α⊥β，即平面α，β的位置关系为两平面相互垂直．]合作探究提素养求平面的法向量【例1】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．[解]∵四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A为原点，分别以AB→，AD→，AA1→为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系．设AB＝AD＝AA1＝1，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E为B1D1的中点，∴E12，12，1.设平面A1DE的法向量n1＝(x1，y1，z1)，又A1E→＝12，12，0，A1D→＝(0，1，－1)，由n1⊥A1E→，n1⊥A1D→，得12x1＋12y1＝0，y1－z1＝0，取z1＝1，,则x1＝－1，y1＝1，z1＝1，则n1＝(－1，1，1)．设平面A1B1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，由A1B1→＝(1，0，0)，A1D→＝(0，1，－1)，而n2⊥A1B1→，n2⊥A1D→，所以x2＝0，y2－z2＝0，令z2＝1，则x2＝0，y2＝1，z2＝1，∴n2＝(0，1，1)．利用待定系数法求法向量的解题步骤1．已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，求平面α的一个法向量．[解]因为A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，所以AB→＝(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有n·AB→＝0，n·AC→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0.得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为n＝(2，1，0)．利用空间向量证明平行问题【例2】已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[证明](1)建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以FC1→＝(0，2，1)，DA→＝(2，0，0)，AE→＝(0，2，1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→，即n1·DA→＝2x1＝0，n1·AE→＝2y1＋z1＝0，得x1＝0，z1＝－2y1，令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)．因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因为C1B1→＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→，得n2·FC1→＝2y2＋z2＝0，n2·C1B1→＝2x2＝0，得x2＝0，z2＝－2y2.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.1．利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．2．探索性、存在性问题：(1)存在性问题，先假设存在，根据题目条件，利用线面位置关系的向量表示建立方程或方程组，若能求出符合题意要求的值则存在，否则不存在．(2)探索点的位置的题目，一般先设出符合题意要求的点，再利用题设条件建立方程求参数的值或取值范围．2．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.[解]分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．设E(0，y，z)，则PE→＝(0，y，z－1)，PD→＝(0，2，－1)．∵PE→∥PD→，∴y(－1)－2(z－1)＝0.①∵AD→＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，又CE→＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，∴CE→⊥AD→，∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝0，∴y＝1，代入①得z＝12，∴E是PD的中点，∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.利用空间向量证明垂直问题[探究问题]1．你能给出用向量法坐标法证明线面垂直的步骤吗？[提示](1)建立空间直角坐标系．(2)将直线的方向向量用坐标表示．(3)求出平面的法向量．(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．用向量法坐标法证明面面垂直时，除了用其法向量的数量积为0以外，还可以如何证明？[提示]可以先用向量法坐标法证明线面垂直，再借助面面垂直的判定求解．【例3】如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.[思路探究]建立平面直角坐标系，证明AB1⊥平面A1BD.[证明]如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB→，OO1→，OA→分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0)．所以AB1→＝(1，2，－3)BA1→＝(－1，2，3)BD→＝(－2，1，0)．因为AB1→·BA1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0，AB1→·BD→＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0，所以AB1→⊥BA1→，AB1→⊥BD→，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.1.(变条件)若本例增加条件：E，F分别是BC，BB1的中点，求证：EF⊥平面ADE.[证明]建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，3)，D(－1，1，0)，E(0，0，0)，F(1，1，0)，所以EA→＝(0，0，3)，ED→＝(－1，1，0)，EF→＝(1，1，0)．所以EF→·EA→＝1×0＋1×0＋0×3＝0，EF→·ED→＝1×(－1)＋1×1＋0×0＝0.所以EF→⊥EA→，EF→⊥ED→，即EF⊥EA，EF⊥ED，又因为EA∩ED＝E，所以EF⊥平面ADE.2.(变条件)把本例条件换为“如图，在四棱锥E­ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.”求证：平面ADE⊥平面ABE.[证明]取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又AB⊥平面BCE，∴以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz，如图所示．则由已知条件有C(1，0，0)，B(0，3，0)，E(0，－3，0)，D(1，0，1)，A(0，3，2)．∴EA→＝(0，23，2)，DA→＝(－1，3，1)，设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，则n·EA→＝(a，b，c)·(0，23，2)＝23b＋2c＝0，n·DA→＝(a，b，c)·(－1，3，1)＝－a＋3b＋c＝0.令b＝1，则a＝0，c＝－3，∴n＝(0，1，－3)，又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取为m＝(1，0，0)．∵n·m＝(0，1，－3)·(1，0，0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.用向量法证明空间中垂直关系的方法(1)证明线线垂直，只需证两直线的方向向量垂直．设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证l1⊥l2，只需证a⊥b，即a·b＝0.(2)证明线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行．②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．(3)证明面面垂直：可证两平面的法向量相互垂直．当堂达标固双基1．若平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均错A[∵平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)，∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β.]2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，则能使l∥α的是()A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)D[直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，则a⊥n，∴a·n＝0.只有D中有a·n＝0.]3．已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为()A．－1，2B．1，－2C．1，2D．－1，－2A[c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的法向量，得c·a＝0，c·b＝0，得m＝－1，n＝2.]4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值