2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-1-3 两条直线的位置关系课件 北师大版必

解析几何初步第二章§1直线与直线的方程1．3两条直线的位置关系课前自主预习1．两条直线平行(1)两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1∥l2，则________；反之，若_________，则l1∥l2(如下图)．k1＝k2k1＝k2(2)如果l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90°，从而它们互相______________．2．两条直线垂直一般地，设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.若l1⊥l2，则___________；反之，若___________，则l1⊥l2.特别地，对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥x轴，l2⊥y轴，所以_________平行或重合k1·k2＝－1k1·k2＝－1l1⊥l2.1．如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？[答案]α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tanα1＝tanα2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则与l平行的直线方程有什么特征？与l垂直的直线方程呢？[答案]与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C1＝0.3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，则l1∥l2.()(2)若两条直线l1∥l2，则k1＝k2.()(3)若两条直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.()(4)若两条直线l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2＝－1，则l1⊥l2.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√课堂互动探究题型一两条直线平行的判定及应用【典例1】(1)求过点(1,2)且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程；(2)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，求m的值．[思路导引]直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，有l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2.[解](1)已知直线的斜率是－2，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜率也是－2.根据点斜式，得所求直线的方程是y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.(2)已知直线的斜率为－2，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜率也是－2.由斜率公式得4－mm－－2＝－2，解得m＝－8.(1)已知两直线平行，求方程中的参数值时，通常有两种方法：一是对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解；二是直接根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1进行求解．(2)求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除它们重合的情况．(3)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．题型二两条直线垂直的判定及应用【典例2】(1)求过点P(1，－1)且与直线2x＋3y＋1＝0垂直的直线方程；(2)若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点(－2,1)、斜率为－23的直线垂直，求实数a的值．[思路导引]若l1与l2斜率存在，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.[解](1)直线2x＋3y＋1＝0的斜率为－23，∵所求直线与已知直线2x＋3y＋1＝0垂直，∴所求直线的斜率k满足k·－23＝－1，即k＝32.由点斜式方程，得y－(－1)＝32(x－1)，即3x－2y－5＝0.(2)直线l的斜率为1－－1－a－2－a－2＝－1a.∵两直线互相垂直，∴－1a·－23＝－1，∴a＝－23.(1)判断两直线是否垂直的方法①若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0判断；②若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1判断；③若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．(2)已知两直线垂直求方程中的参数值时，通常也有两种方法，一是根据k1k2＝－1建立方程求解，但需注意斜率不存在的情况；二是直接利用A1A2＋B1B2＝0求解．(3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.题型三平行与垂直关系的综合应用【典例3】已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．[思路导引]分别求kAB，kBC，kCD，通过斜率的关系判定四边形ABCD形状．[解]由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图，由斜率公式可得kAB＝5－32－－4＝13，kCD＝0－3－3－6＝13，kAD＝0－3－3－－4＝－3，kBC＝3－56－2＝－12.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．[针对训练3]已知△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．[解]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.