2019-2020学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判

数学必修②·人教A版新课标导学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的__________.它们唯一的公共点P叫做________.任意一条垂线垂面垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直[归纳总结](1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，___________⇒l⊥α作用判断直线与平面垂直相交a∩b＝P[归纳总结]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的________叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过________和________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于_______.因此，直线与平面所成的角的范围是_________________．垂直交点垂足斜足锐角90°0°[0°，90°]1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直[解析]∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．A2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定[解析]如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D．D3．(2018～2019·福州高二检测)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是()A．5B．25C．35D．45D[解析]取BC的中点D，∵AB＝AC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又PA∩AD＝D，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD．∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∴AD＝4，∴PD＝PA2＋AD2＝45.故选D．互动探究学案命题方向1⇨线面垂直的判定如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF．典例1[思路分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[解析](1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC．(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF．『规律方法』线面垂直的判定方法：(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．〔跟踪练习1〕如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．[解析](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．命题方向2⇨直线与平面所成的角在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．典例2[思路分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[解析](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝22．(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O．∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°．即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°．『规律方法』求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．〔跟踪练习2〕如图，在三棱柱ΑΒC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．[解析](1)取BC的中点E，连接A1E、DE、AE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC，因为A1E∩BC＝E，所以AE⊥平面A1BC，由D、E分别是B1C1、BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A，所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE，又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F，A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝2．由∠A1EA＝∠A1EB＝90°，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14．由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72．所以sin∠A1BF＝78．线线垂直和线面垂直的相互转化(2018～2019·湖南张家界高一期末)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．典例3[解析](1)证明：直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．又BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面BCC1B1．(2)解：连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．在Rt△AC1D中，AD＝32，AC1＝2，sin∠AC1D＝ADAC1＝64，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64．〔跟踪练习3〕如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE．[证明]∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE．又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC．∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF．∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1．典例4逻辑推理不严密致误[错解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1．又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1．[错因分析]错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．[正解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1．又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1．[警示]用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的序号有()A．①③B．①②C．②④D．①④[解析]三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③．A2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()A．223B．23C．24D．13D[解析]∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝AA1AC1＝13．3．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有_____个．[解析]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC．∴△PAB、△PAC为直角三角形．∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∴BC⊥AC，BC⊥PC．∴△ABC、△PBC为直角三角形．44．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，