2019-2020学年高中数学 第2章 参数方程章末复习课课件 新人教B版选修4-4

第二章参数方程章末复习课圆锥曲线的参数方程及应用对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角t的意义，要分清椭圆上一点的离心角t和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．【例1】在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．[思路探究]选择恰当参数，设出点P坐标，代入S式，化简求最值．[解]∵椭圆x23＋y2＝1的参数方程为x＝3costy＝sint(t为参数)．故设动点P(3cost，sint)，其中t∈[0,2π)．因此S＝x＋y＝3cost＋sint＝2(sinπ3cost＋cosπ3sint)＝2sin(t＋π3)．∴当t＝π6时，S取得最大值2.直线的参数方程及应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．【例2】直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为x＝－4＋32ty＝12t与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点，(1)求弦长|AB|；(2)过P0作圆的切线，求切线长．[思路探究]将参数方程代入x2＋y2＝7中―→t2－43t＋9＝0――→|t|的几何意义|AB|和切线长[解]将直线l的参数方程代入圆的方程，得－4＋32t2＋12t2＝7，整理得t2－43t＋9＝0.(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1·t2＝9.故|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝23.(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，∴切线长|P0T|＝3.参数法及应用参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．【例3】如图，已知直线l过点P(2，0)，斜率为43，直线l和抛物线y2＝2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P、M两点间的距离|PM|；(2)线段AB的长|AB|.[解](1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为43，设直线的倾斜角为α，tanα＝43，sinα＝45，cosα＝35，∴直线l的参数方程为x＝2＋35ty＝45t(t为参数)．∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)0.设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝158，t1t2＝－254，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|＝|t1＋t22|＝1516.(2)|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝5873.因此线段AB的长为5873.【例4】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝4cosθy＝4sinθ(θ为参数，且0≤θ2π)，点M是曲线C1上的动点．(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ0)，求点P到直线l距离的最大值．[思路探究](1)将点的坐标设成参数形式，利用参数作为中间变量利于简化运算，再运用平方关系，消参后转化为直角坐标方程．(2)化极坐标方程为直角坐标方程，数形结合，求出最值．[解](1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cosθ，4sinθ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝12(0＋4cosθ)＝2cosθ，y＝12(0＋4sinθ)＝2sinθ，所以点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)，因此点P的轨迹的参数方程为x＝2cosθy＝2sinθ(θ为参数，且0≤θ2π)，消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.又由(1)，知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋－12＝12＝22，所以点P到直线l距离的最大值为2＋22.函数与方程的思想参数方程从形式上看是一个方程组，而对于方程组中的每一个方程而言，其中x，y都可以看作是参数的函数．参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧密联系和充分利用．【例5】已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解](1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.