2019-2020学年高中数学 第2章 参数方程 2.3 圆锥曲线的参数方程课件 新人教B版选修4-

第二章参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程2.3.3双曲线的参数方程学习目标：1.了解双曲线、抛物线的参数方程.2.理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点)自主预习探新知1．椭圆的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosty＝bsint，0≤t≤2π.(2)若椭圆的中心不在原点而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆的参数方程为x＝x0＋acosty＝y0＋bsint，0≤t≤2π.2．双曲线的参数方程双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecθy＝btanθ.3．抛物线的参数方程抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈R，t为参数)．x＝2pt2y＝2pt思考1：椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？[提示]椭圆的参数方程x＝acosφy＝bsinφ(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．思考2：双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数secφ的意义是什么？[提示]secφ＝1cosφ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.思考3：类比y2＝2px(p0)，你能得到x2＝2py(p0)的参数方程吗？[提示]x＝2pty＝2pt2(p0，t为参数，t∈R)．1．参数方程x＝sinθy＝2cosθ(θ为参数)化为普通方程为()A．x2＋y24＝1B．x2＋y22＝1C．y2＋x24＝1D．y2＋x24＝1[解析]易知sinθ＝x，cosθ＝y2，∴x2＋y24＝1.[答案]A2．方程cosθx＝ay＝bcosθ(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一部分[解析]由cosθ·x＝a，∴cosθ＝ax，代入y＝bcosθ，得xy＝ab，又由y＝bcosθ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分．[答案]D3．已知点M(3，m)在以F为焦点的抛物线x＝4t2y＝4t(t为参数)上，则|MF|等于()A．1B．2C．3D．4[解析]由x＝4t2，y＝4t得t2＝x4，t＝y4，∴y216＝x4，即y2＝4x，∴p＝2.∴|MF|＝3＋p2＝3＋1＝4.[答案]D4．点P(x，y)在椭圆x24＋y2＝1上，则x＋y的最大值为________．[解析]由已知可得椭圆的参数方程为x＝2cosθy＝sinθ(θ为参数)，则x＋y＝2cosθ＋sinθ＝5sin(θ＋φ)(tanφ＝2)，∴(x＋y)max＝5.[答案]5合作探究提素养椭圆的参数方程及应用【例1】将参数方程x＝5cosθy＝3sinθ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．[思路探究]根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．[解]由x＝5cosθy＝3sinθ得cosθ＝x5，sinθ＝y3，两式平方相加，得x252＋y232＝1.∴a＝5，b＝3，c＝4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．椭圆的参数方程x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数，a，b为常数，且ab0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[解]将x＝3cosθy＝5sinθ化为x3＝cosθy5＝sinθ，两式平方相加，得x232＋y252＝1.其中a＝5，b＝3，c＝4.所以方程的曲线表示焦点为F1(0，－4)与F2(0,4)的椭圆．1．若本例的参数方程为x＝3cosθy＝5sinθ(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【例2】已知曲线C1：x＝－4＋costy＝3＋sint(t为参数)，曲线C2：x264＋y29＝1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值．[思路探究](1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．[解](1)由x＝－4＋costy＝3＋sint，得cost＝x＋4sint＝y－3，∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C2：x264＋y29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为x＝8cosθy＝3sinθ(θ为参数)．(2)依题设，当t＝π2时，P(－4,4)；且Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋32sinθ)．又C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．本题易错点主要有：一是在第(1)问中，不能将圆的参数方程化为普通方程；二是在第(2)问中对绝对值的函数形式变形不对或认为cos(θ＋φ)＝－1时取最小值，从而得出错误结论．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解](1)因为－1＜1－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosαy＝2sinα(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.双曲线参数方程的应用【例3】求证：双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[思路探究]设出双曲线上任一点的坐标，若注意到三角函数有利于三角变换，可利用双曲线的参数方程简化运算．[解]由双曲线x2a2－y2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asecφ，btanφ)，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1·d2＝|absecφ＋abtanφ|b2＋a2·|absecφ－abtanφ|b2＋－a2＝|a2b2sec2φ－tan2φ|a2＋b2＝a2b2a2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用．3．已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一点P，与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．[解]双曲线x2－y2＝1的参数方程为x＝secθ，y＝tanθ，则Q(secθ，tanθ)，又圆心C(0,2)，则|CQ|2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tanθ－2)2＝2(tanθ－1)2＋3，当tanθ＝1，即θ＝π4时，|CQ|2取最小值3，此时有|CQ|min＝3.又因为|PC|＝1，所以|PQ|min＝3－1.抛物线的参数方程【例4】设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．[思路探究]解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．[解]设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，当t≠0时，直线OP的方程为y＝1tx，QF的方程为y＝－2t(x－p2)，它们的交点M(x，y)由方程组y＝1txy＝－2tx－p2确定，两式相乘，消去t，得y2＝－2x(x－p2)，∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)．当t＝0时，M(0,0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.1．抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2y＝2pt(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．4．已知抛物线y2＝2px过顶点两弦OA⊥OB，求以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．[解]设A(2pt21，2pt1)，B(2pt22，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2pt21x－2pt1y＝0，以OB为直径的圆方程为x2＋y2－2pt22x－2pt2y＝0，∴t1，t2为方程2pxt2＋2pty－x2－y2＝0的两根．∴t1t2＝－x2＋y22px.又OA⊥OB，∴t1t2＝－1，x2＋y2－2px＝0.∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．(教材P46习题2－3T1)设直线的参数方程为x＝1＋ty＝－2＋2t.它与椭圆4x29＋y29＝1的交点为A和B，求线段AB的长．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，椭圆C的参数方程为x＝cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．[命题意图]知识：考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等．能力：通过参数方程与普通方程的互化及求线段AB长的过程，考查了运算求解能力．试题难度：中．[解]椭圆C的普通方程为x2＋y24＝1.将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t代入x2＋y24＝1，得1＋12t2＋32t24＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－167.所以AB＝|t1－t2|＝167.