2019-2020学年高中数学 第2章 变化率与导数 2 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义

第二章变化率与导数§2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的概念及导数的几何意义．(重、难点)2．会求导数及理解导数的实际意义．(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法．(难点)1．通过导数几何意义的学习，培养了学生直观想象的核心素养.2．通过求函数的导数的学习，提升了学生数学运算的核心素养.3.通过导数实际意义的学习，培养了学生数学抽象的核心素养.自主预习探新知1．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x0点的称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0fx1－fx0x1－x0＝limΔx→0______________.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的___________．函数y＝f(x)在x0处反映了导数的几何意义．瞬时变化率fx0＋Δx－fx0Δx切线的斜率切线的斜率1．设函数y＝f(x)可导，则limΔx→0f1＋Δx－f1Δx等于()A．f′(1)B．3f′(1)C．13f′(1)D．以上都不对A[由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.]2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在A[由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．]3．抛物线y＝x2＋4在点(－2,8)处的切线方程为__________．4x＋y＝0[因为y′＝limΔx→0x＋Δx2＋4－x2＋4Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，所以k＝－4，故所求切线方程为4x＋y＝0.]合作探究提素养求函数在某点处的导数【例1】(1)若limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝k，则limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx等于()A．2kB．kC．12kD．以上都不是(2)函数y＝x在x＝1处的导数是________．(3)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．思路探究：根据导数的概念求解．(1)A(2)12[(1)limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2k.(2)∵Δy＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，当Δx趋于0时，ΔyΔx＝11＋Δx＋1趋于12，∴函数y＝x在x＝1处的导数为12.](3)[解]∵f(x)＝2x2＋4x，∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.∴ΔyΔx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.当Δx趋于0时，ΔyΔx＝16，∴f′(3)＝16.1．本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出．切忌算到1＋Δx－1Δx时，就下结论：当Δx趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定．2．计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤(1)计算Δy；(2)计算ΔyΔx；(3)计算limΔx→0ΔyΔx.1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是()A．1B．－1C．±1D．33C[∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20，由f′(x0)＝3，得3x20＝3，∴x0＝±1．]求曲线在某点处切线的方程【例2】已知曲线C：f(x)＝13x3＋43.(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？思路探究：(1)先求切点坐标，再求f′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．[解](1)将x＝2代入曲线C的方程得f(2)＝4，∴切点P(2,4)．f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0132＋Δx3＋43－13×23－43Δx＝limΔx→0[4＋2Δx＋13(Δx)2]＝4.∴k＝f′(2)＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)由y＝4x－4，y＝13x3＋43，可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0，解得x1＝2，x2＝－4.从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．2．求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线方程．[解]在曲线f(x)＝x2＋1上的点A(1,2)的附近取一点B，设B点的横坐标为1＋Δx，则点B的纵坐标为(1＋Δx)2＋1，所以函数的增量Δy＝(1＋Δx)2＋1－2＝(Δx)2＋2Δx，所以切线AB的斜率kAB＝ΔyΔx＝Δx＋2，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(Δx＋2)＝2，这表明曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线斜率k＝2．∴所求切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.求曲线过某点的切线方程[探究问题]1．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？[提示]区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示]不一定．切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程与过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？[提示]曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线f(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．【例3】已知曲线f(x)＝1x.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．思路探究：(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程．[解](1)limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx－1xΔx＝－1x2.设过点A(1,0)的切线的切点为Px0，1x0，则f′(x0)＝－1x20，即该切线的斜率为k＝－1x20.因为点A(1,0)，Px0，1x0在切线上，所以1x0－0x0－1＝－1x20，解得x0＝12.故切线的斜率k＝－4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Qa，1a，由(1)知，k＝f′(a)＝－1a2＝－13，得a＝±3.所以切点坐标为3，33或－3，－33.故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)，即x＋3y－23＝0或x＋3y＋23＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．3．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．[解]设切点为Q(a，a2＋1)，fa＋Δx－faΔx＝a＋Δx2＋1－a2＋1Δx＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，a2＋1－0a－1＝2a，解得a＝1±2，所求的切线方程为y＝(2＋22)x－(2＋22)或y＝(2－22)x－(2－22)．1．导数与函数图象的关系在x＝x0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f′(x0)反映函数在x＝x0附近的增减情况，而在x＝x0处的切线斜率k＝f′(x0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f(x)在x＝x0附近切线的斜率k切线的倾斜角f′(x0)0上升k0锐角f′(x0)0下降k0钝角f′(x0)＝0k＝0零角(切线与x轴平行)2．求曲线在某点的切线方程(1)若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)的切线的斜率存在，则斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)的切线的斜率不存在，则切线方程为x＝x0，此时f′(x0)也不存在．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．()(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．()(3)函数f(x)＝0没有导数．()(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝()A．12B．3C．4D．5A[由于kl＝5－34－0＝12，∴f′(4)＝12]3.已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“＜”“＝”或“＞”)．＞[f′(a)与f′(b)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，由图像可得f′(a)＞f′(b)．]4．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．[解]设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3Δx＝3x2－4x.由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x20－4x0＝4，解得x0＝－23或x0＝2，∴切点坐标为－23，4927或(2,3)．当切点为－23，4927时，有4927＝4×－23＋a，∴a＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5.因此切点坐标为－23，4927或(2,3)，a的值为12127或－5.