2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程讲末复习与小结课件 新人教A版选修4-4

讲末复习与小结一、知识结构参数方程参数方程的概念圆的参数方程参数方程和普通方程的互化圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程抛物线的参数方程直线的参数方程渐开线和摆线二、要点提示(一)参数方程的概念1．参数的选择(1)参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义；(2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样；(3)在实际问题中要确定参数的取值范围．2．参数方程求法(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质、物理意义，建立点P的坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所表示的曲线的方程．3．参数方程化为普通方程的常见方法(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；(2)三角法：利用三角恒等式消去参数；(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数．(二)曲线的参数方程1．圆的参数方程(1)圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程是x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)，它的普通方程为x2＋y2＝r2；(2)圆心在点(a，b)，半径为r的圆的参数方程是x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)，它的普通方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．2．椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)，其中φ∈[0,2π)；(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，参数方程为x＝bcosφ，y＝asinφ(φ为参数)，其中φ∈[0,2π)；(3)中心在点(m，n)的椭圆方程，标准方程为x－m2a2＋y－n2b2＝1(a＞b＞0)，参数方程可表示为x＝m＋acosφ，y＝n＋bsinφ(φ为参数)，其中φ∈[0,2π)．3．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，参数方程为x＝asecφ，y＝btanφ(φ为参数)，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2；(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，参数方程为x＝btanφ，y＝asecφ(φ为参数)，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2；(3)中心在点(m，n)的双曲线方程，标准方程为x－m2a2－y－n2b2＝1(a＞0，b＞0)，参数方程可表示为x＝m＋asecφ，y＝n＋btanφ(φ为参数)，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2．4．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程可表示为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，参数t的几何意义：表示抛物线上任意一点(x，y)(除顶点外)与其原点连线斜率的倒数；(2)抛物线x2＝2py(p＞0)的参数方程可表示为x＝2pt，y＝2pt2(t为参数)．5．直线的参数方程(1)直线参数方程的标准形式：经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程可表示为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，其中φ∈[0,2π)；(2)直线参数方程的一般形式x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)．6．圆的渐开线和摆线(1)圆的渐开线的参数方程x＝rcosφ＋φsinφ，y＝rsinφ－φcosφ(φ是参数)；(2)摆线的参数方程x＝rφ－sinφ，y＝r1－cosφ(φ是参数)．三、题型探究【例1】在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x＝5cosφy＝3sinφ(φ为参数)的右焦点且与直线x＝4－2ty＝3－t(t为参数)平行的直线的普通方程．【解题探究】本题一方面考查会将曲线的参数方程化为普通方程，另一方面考查椭圆的性质和直线方程的求法．【规范答题】将椭圆的参数方程x＝5cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)化为普通方程x225＋y29＝1，则a＝5，b＝3．∴c＝a2－b2＝4.故椭圆的右焦点为F(4,0)．又将直线的参数方程x＝4－2ty＝3－t(t为参数)化为普通方程x－2y＋2＝0，由此得直线的斜率为k＝12．故所求直线的方程为y－0＝12(x－4)，即x－2y－4＝0．本题采用点斜式求直线方程．也可利用所求直线与已知直线平行，故可设所求直线方程为x－2y＋C＝0，又所求直线过椭圆的右焦点F(4，0)，将坐标代入可求得C，从而得到所求的直线方程．【例2】点P在椭圆x216＋y29＝1上，求点P到直线3x－4y＝24的最大距离和最小距离．【解题探究】可设点为参数形式，利用三角函数的有界性求最值．【规范答题】设P(4cosθ，3sinθ)，则d＝|12cosθ－12sinθ－24|5，即d＝122cosθ＋π4－245．当cosθ＋π4＝－1时，dmax＝125(2＋2)；当cosθ＋π4＝1时，dmin＝125(2－2)．利用曲线的参数形式求最值比较常见，解决问题时比普通方程要简单．【例3】过原点O的动直线l与直线x＝1交于一点P，点Q在直线l上且满足|OP|·|OQ|＝1，求动点Q的轨迹方程．【解题探究】考虑三角函数的关系确定参数方程．【规范答题】设直线l的倾斜角为α，Q(x，y)．当0≤α90°时，|OP|＝1cosα．由|OP|·|OQ|＝1，得|OQ|＝|cosα|＝cosα.因此x＝|OQ|cosα＝cos2α，y＝|OQ|sinα＝sinαcosα⇒x＝1＋cos2α2，y＝sin2α2，`消去α得x－122＋y2＝14．当90°＜α＜180°时，|OP|＝1cos180°－α＝－1cosα．由|OP|·|OQ|＝1，得|OQ|＝－cosα.因此x＝|OQ|cos180°－α＝－|OQ|cosα＝cos2α，|y|＝|OQ|sin180°－α＝－sinαcosα.∵y≤0，∴x＝1＋cos2α2，y＝sin2α2.消去α得x－122＋y2＝14．综上所述，Q的轨迹方程为x－122＋y2＝14(除去原点(0,0))．【例4】在椭圆x216＋y212＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．【解题探究】利用椭圆的参数方程求解．【规范答题】设椭圆参数方程为x＝4cosθ，y＝23sinθ，d＝|4cosθ－43sinθ－12|5＝455|cosθ－3sinθ－3|＝4552cosθ＋π3－3．当cosθ＋π3＝1时，dmin＝455，此时取θ＋π3＝0，∴θ＝－π3．∴x＝4cos－π3＝2，y＝23sin－π3＝－3.∴所求坐标为(2，－3)．本题有多种解法，可以利用直线与椭圆相切，也可以利用距离公式结合二次函数配方解决，但相比之下，参数法是最简单有效的方法．【例5】已知点M(2,1)和双曲线x2－y22＝1，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在的直线l的方程．【解题探究】利用直线参数方程中参数的几何意义解决，所以要先设出直线参数方程形式．【规范答题】设直线的参数方程为x＝2＋tcosα，y＝1＋tsinα(t为参数)，代入双曲线的方程，可得关于t的二次方程(2＋tcosα)2－1＋tsinα22＝1，即(2cos2α－sin2α)t2＋(8cosα－2sinα)t＋5＝0.设弦的两个端点A，B对应的参数为t1，t2，由于M是中点，所以t1＋t2＝0，即－8cosα－2sinα2cos2α－sin2α＝0.所以tanα＝4，即直线的斜率为4.所以直线l的方程是y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0．利用参数方程解决关于点的轨迹、距离、中点等问题时较方便．