2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 第2课时 圆的参数方程课件 新人教A版选修4-4

第2课时圆的参数方程1．圆的参数方程(1)圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程是____________(θ为参数)．参数θ的几何意义是OM0绕点O________旋转到OM的位置时，OM0转过的角度，如下图．它的普通方程为____________．x＝rcosθ，y＝rsinθ逆时针x2＋y2＝r2(2)圆心在点(a，b)，半径为r的圆的参数方程是_________________(θ为参数)．它的普通方程为_______________________．x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(x－a)2＋(y－b)2＝r21．下列参数方程表示圆的方程的是()A．x＝tcosθ，y＝tsinθ(t为参数)B．x＝tcosθ，y＝tsinθ(θ为参数，t＞0)C．x＝tcos2θ，y＝tsin2θ(t为参数)D．x＝tcosθ，y＝tsin2θ(θ为参数，t＞0)【答案】B【解析】圆心在原点的圆的参数方程为x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)，r为半径，θ为参数．2．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限可得a＜0，b＞0，所以圆的圆心(a，b)位于第二象限．3.(2018年兰州双基训练)把圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为.【答案】(θ为参数)【解析】圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，故参数方程为(θ为参数).4．已知直线l的极坐标方程为ρsinθ－π3＝6，圆C的参数方程为x＝10cosθ，y＝10sinθ(θ为参数)．(1)化圆的方程为普通方程；(2)求直线被圆截得的弦长．【解析】(1)由圆的参数方程可得圆心为(0,0)，半径为10，所以圆的普通方程为x2＋y2＝100．(2)直线方程可化为ρsinθcosπ3－cosθsinπ3＝6，得12ρsinθ－32ρcosθ＝6．普通方程为12y－32x＝6，即3x－y＋12＝0.圆C的圆心为(0,0)，半径为10，圆心到直线的距离为|12|3＋1＝6，则弦长为2102－62＝16．【例1】设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为π60rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．【解题探究】设出质点的坐标，将其分别用某个参数表示出即可．参数方程及其求法【解析】如下图，在运动开始时，质点位于点A处，此时t＝0.设动点M(x，y)对应时刻为t，由图可知x＝2cosθ，y＝2sinθ.又θ＝π60t，得参数方程为x＝2cosπ60t，y＝2sinπ60t(t≥0且t为参数)．选取的参数不同，圆有不同的参数方程，本题中的参数也有明确的物理意义，为质点做匀角速圆周运动的时刻．1．经过原点作圆x2－2ax＋y2＝0的弦，求这些弦的中点的轨迹方程．【解析】设OQ是经过原点的任意一条弦，OQ的中点是M(x，y)，设弦OQ和x轴的夹角为θ，取θ作为参数，已知圆的圆心是O′(a,0)，连接O′M，那么O′M⊥OQ过点M作MM′⊥OO′，那么|OM|＝acosθ，所以x＝|OM′|＝|OM|cosθ＝acos2θ，y＝|MM′|＝|OM|sinθ＝acosθsinθ(θ为参数)，这就是所求轨迹的参数方程．【例2】说明参数方程x＝1＋4cost，y＝－2＋4sint0≤t≤π2表示什么曲线？【解题探究】化为普通方程后，可通过作图得出其轨迹，要注意参数的取值范围．参数方程的意义【解析】由题得x－1＝4cost，y＋2＝4sint，得普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝16.∵0≤t≤π2，∴0≤sint≤1，0≤cost≤1.∴1≤x≤5，－2≤y≤2.∴其普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝16(1≤x≤5，－2≤y≤2)．作出其图形，得方程表示的曲线是14个圆，圆心为(1，－2)，半径为4，如图．参数方程在化为普通方程的过程中，一定要注意参数的取值范围，得出普通方程中的x，y的范围，从而正确得出方程所表示的轨迹．2．曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上【答案】B【解析】曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)表示圆，圆心为(－1,2)，在直线y＝－2x上，故选B．【例3】已知x，y满足x2＋y2＝1，求S＝x＋y的最值．【解题探究】由图形不易找出所求的最值，可考虑利用参数方程，将其化为三角函数形式求最值．参数方程的应用【解析】由x2＋y2＝1可知曲线表示以(0,0)为圆心，半径等于1的圆．令x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，则S＝x＋y＝cosθ＋sinθ＝222cosθ＋22sinθ＝2cosθ－π4，∴当cosθ－π4＝1时，S有最大值Smax＝2；当cosθ－π4＝－1时，S有最小值Smin＝－2．利用参数方程转化为三角函数形式，利用三角函数的有界性求出最值，是比较常用的方法．3．已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．【解析】由已知，可设点(x，y)为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，则有x＝1＋3cosθ，y＝1＋3sinθ(θ为参数)．而x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3sinθ)2＝11＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋62sinθ＋π4．∵－1≤sinθ＋π4≤1，∴11－62≤x2＋y2≤11＋62．∴x2＋y2的最大值为11＋62，最小值为11－62.1．圆的参数方程化为普通方程，通常利用sin2θ＋cos2θ＝1进行消参．2．方程互化过程中要使变量范围保持一致，即等价转化．3．利用参数方程，将问题转化为三角函数形式，可利用三角函数的有界性求最值．4．在利用x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)研究圆的问题时，圆上的点的坐标可设为(rcosθ，rsinθ)．