2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 3 直线的参数方程课件 新人教A版选修4-4

第二讲参数方程三直线的参数方程学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)自主探新知预习教材整理直线的参数方程阅读教材P35～P39，完成下列问题．经过点M0(x0，y0)，倾斜角为αα≠π2的直线l的参数方程为x＝__________y＝__________(t为参数)，其中参数t的几何意义是：|t|是直线l上任一点M(x，y)到定点M0(x0，y0)的距离，即|t|＝|M0M—→|.x0＋tcosαy0＋tsinα曲线x＝－2＋5ty＝1－2t(t为参数)与坐标轴的交点是()A.0，25、12，0B.0，15、12，0C．(0，－4)、(8,0)D.0，59、(8,0)[解析]当x＝0时，t＝25，而y＝1－2t，即y＝15，得与y轴的交点为0，15；当y＝0时，t＝12，而x＝－2＋5t，即x＝12，得与x轴的交点为12，0.[答案]B合作提素养探究直线参数方程的简单应用【例1】已知直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2＋t(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？[思路探究]考虑参数方程标准形式中参数t的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式x＝1＋25t′，y＝2＋15t′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．[自主解答]将参数方程x＝1＋2t，y＝2＋t(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为x＝1＋25t′，y＝2＋15t′(t′为参数)，代入圆方程x2＋y2＝9，得1＋25t′2＋2＋15t′2＝9，整理，有5t′2＋8t′－45＝0.由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－85，t′1·t′2＝－4.根据参数t′的几何意义．|t′1－t2′|＝t′1＋t′22－4t′1t′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝t1＋t22(由此可求|M1M2|及中点坐标)．1．在极坐标系中，已知圆心C3，π6，半径r＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线x＝－1＋32ty＝12t(t为参数)与圆交于A，B两点，求弦AB的长．[解](1)由已知得圆心C3cosπ6，3sinπ6，半径为1，圆的方程为x－3322＋y－322＝1，即x2＋y2－33x－3y＋8＝0.(2)由x＝－1＋32ty＝12t(t为参数)得直线的直角坐标系方程x－3y＋1＝0，圆心到直线的距离d＝332－332＋12＝12，所以|AB|22＋d2＝1，解得|AB|＝3.参数方程与极坐标的综合问题【例2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.[思路探究](1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A、B的坐标，也可考虑利用t的几何意义求解．[自主解答](1)由ρ＝25sinθ，得ρ2＝25ρsinθ，∴x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(2)法一直线l的普通方程为y＝－x＋3＋5.与圆C：x2＋(y－5)2＝5联立，消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x＝1y＝2＋5或x＝2，y＝1＋5.不妨设A(1,2＋5)，B(2,1＋5)．又点P的坐标为(3，5)，故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.法二将l的参数方程代入x2＋(y－5)2＝5，得3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0，(*)由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0.故可设t1，t2是(*)式的两个实根，∴t1＋t2＝32，且t1t2＝4，∴t10，t20.又直线l过点P(3，5)，∴由t的几何意义，得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝32.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t的几何意义，简化了计算．2．本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．2．已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφy＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．[解](1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3＋π2，2sinπ3＋π2，C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，D2cosπ3＋3π2，2sinπ3＋3π2，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝(2cosφ－1)2＋(3－3sinφ)2＋(－3－2cosφ)2＋(1－3sinφ)2＋(－1－2cosφ)2＋(－3－3sinφ)2＋(3－2cosφ)2＋(－1－3sinφ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.∵0≤sin2φ≤1，∴S的取值范围是[32,52]．直线的参数方程[探究问题]1．若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？[提示]参数方程为x＝x0＋t，y＝y0(t为参数)．2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[提示]过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的长度，即|t|＝|M0M→|.①当t＞0时，M0M→的方向向上；②当t＜0时，M0M→的方向向下；③当t＝0时，点M与点M0重合．【例3】已知直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t，(t为参数)．(1)求直线l的倾斜角；(2)若点M(－33，0)在直线l上，求t，并说明t的几何意义．[思路探究]将直线l的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t.[自主解答](1)由于直线l：x＝－3＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6(t为参数)表示过点M0(－3，2)且斜率为tanπ6的直线，故直线l的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l的单位方向向量e＝cosπ6，sinπ6＝32，12.∵M0(－3，2)，M(－33，0)，∴M0M→＝(－23，－2)＝－432，12＝－4e，∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M→|＝4，且M0M→与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是x＝x0＋at，y＝y0＋bt(a、b为常数，t为参数)．3．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.[解](1)直线l的参数方程为x＝－3＋tcos5π6＝－3－32t，y＝3＋tsin5π6＝3＋t2(t为参数)．(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得4－3－32t2＋3＋12t2－16＝0，即13t2＋4(3＋123)t＋116＝0.由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|，故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11613.当堂固双基达标1．直线x＝－2＋tcos60°，y＝3＋tsin60°(t为参数)的倾斜角α等于()A．30°B．60°C．－45°D．135°[解析]由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B.[答案]B2．直线x＝1＋tcosαy＝－2＋tsinα(α为参数，0≤a＜π)必过点()A．(1，－2)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(2，－1)[解析]直线表示过点(1，－2)的直线．[答案]A3．已知直线l的参数方程为x＝－1－22ty＝2＋22t(t为参数)，则直线l的斜率为()A．1B．－1C.22D．－22[解析]消去参数t，得方程x＋y－1＝0，∴直线l的斜率k＝－1.[答案]B4．若直线x＝1－2ty＝2＋3t(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.[解析]将x＝1－2ty＝2＋3t化为y＝－32x＋72，∴斜率k1＝－32，显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直，∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k.依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1，∴k＝－6.[答案]－65．化直线l的参数方程x＝－3＋t，y＝1＋3t(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义．[解]由x＝－3＋t，y＝1＋3t消去参数t，得直线l的普通方程为3x－y＋33＋1＝0.故k＝3＝tanα，即α＝π3，因此直线l的倾斜角为π3.又x＋3＝t，y－1＝3t，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，∴|t|＝x＋32＋y－122.故|t|是t对应点M到定点M0(－3,1)的向量M0M→的模的一半．