2019-2020学年高中数学 第1章 统计案例 1 1.1 回归分析 1.2 相关系数 1.3 可

第一章统计案例§1回归分析1.1回归分析1.2相关系数1.3可线性化的回归分析学习目标核心素养1.了解回归分析的思想和方法．(重点)2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点)3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)1.借助收集的数据求相关系数和判断是否线性相关问题，培养学生数据分析和数学运算的核心素养．2．通过将非线性回归模型转化为线性回归模型，提升学生数学建模和数据分析的核心素养.自主预习探新知1．回归分析设变量y对x的线性回归方程为y＝a＋bx，由最小二乘法知系数的计算公式为：b＝lxylxx＝________________＝_______________，a＝________.i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2y－bx2．相关系数(1)相关系数r的计算假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r＝lxylxxlyy＝__________________________＝_____________________________.i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2i＝1nyi－y2i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2i＝1ny2i－ny2(2)相关系数r与线性相关程度的关系①r的取值范围为；②|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越；③|r|值越接近0，误差Q越大，变量之间的线性相关程度越．3．相关性的分类(1)当时，两个变量正相关；(2)当时，两个变量负相关；(3)当时，两个变量线性不相关．[－1,1]高低r0r0r＝0思考：所有的两个相关变量都可以来求回归方程吗？[提示]不一定．如果两个相关变量的相关性很强，可以求出回归方程，当几乎没有相关性时就不可以求出回归方程．4．可线性化的回归分析(1)非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．(2)非线性回归方程曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数y＝axb(a＝1，b＞0)(a＝1，b＜0)c＝lnav＝lnxu＝lny_________u＝c＋bvy＝aebx(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnau＝lny_____________y＝aebx(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnav＝1xu＝lnyu＝____________u＝c＋bxc＋bvy＝a＋blnx(b＞0)(b＜0＝v＝lnxu＝y_____________u＝a＋bv1．变量y与x之间的回归方程()A．表示y与x之间的函数关系B．表示y与x之间的不确定性关系C．反映y与x之间真实关系的形式D．反映y与x之间的最大限度的真实关系的形式[答案]D2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元B[x＝4＋2＋3＋54＝3.5，y＝49＋26＋39＋544＝42，∴a＝y－bx＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B.]D[分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋lnx．]3．下列数据x，y符合哪一种函数模型()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A.y＝2＋13xB．y＝2exC．y＝2e1xD．y＝2＋lnx合作探究提素养【例1】(1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关变量间的相关关系及判定(2)两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：①若r＞0，则x增大时，y也随之相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有()A．①②B．②③C．①③D．①②③(3)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是()A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤思路点拨：可借助于线性相关概念及性质作出判断．(1)C(2)C(3)C[(1)由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C.(2)根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误，故选C.(3)其中①③成负相关关系，②⑤成正相关关系，④成函数关系，故选C.]线性相关系数的理解1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．1．下列两变量中具有相关关系的是()A．正方体的体积与边长B．人的身高与体重C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D．球的半径与体积B[选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D中球的体积是43π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．]【例2】(1)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3，2)，(11.8,3)，(12.5,4)(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2r10B．0r2r1C．r20r1D．r2＝r1求线性回归方程(2)某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x(℃)171382月销售量y(件)24334055①算出线性回归方程y＝bx＋a(a，b精确到0.1)；②气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣的销售量．思路点拨：(1)可利用公式求解；(2)把月平均气温代入回归方程求解．(1)C[对变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r10；对变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r20.故r20r1.](2)解：①由散点图易判断y与x具有线性相关关系．x＝(17＋13＋8＋2)÷4＝10，y＝(24＋33＋40＋55)÷4＝38，∑4i＝1xiyi＝17×24＋13×33＋8×40＋2×55＝1267，∑4i＝1x2i＝526，b＝∑4i＝1xiyi－4xy∑4i＝1x2i－4x2＝1267－4×10×38526－4×102≈－2.0，a＝y－bx≈38－(－2.0)×10＝58.0，所以线性回归方程为y＝－2.0x＋58.0.②气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量为y＝－2.0x＋58.0＝－2.0×6＋58.0＝46(件)．回归分析的理解1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，因此，在做回归分析时，要先判断这两个变量是否相关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关．2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0.3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．4．回归直线必过样本点的中心点．2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．[解](1)如图：(2)∑ni＝1xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，∑ni＝1x2i＝62＋82＋102＋122＝344，b＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a＝y－bx＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程知当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.[探究问题]1．如何解答非线性回归问题？可线性化的回归分析[提示]非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：2．已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？x123y35.9912.01①y＝3×2x－1;②y＝log2x；③y＝4x;④y＝x2.[提示]观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×2x－1附近．所以模拟效果最好的为①.【例3】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110体重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170体重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)试建立y与x之间的回归方程；(2)如果一名在校男生身高为168cm，预测他的体重约为多少？思路点拨：先由散点图确定相应的拟合模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．[解](1)根据表中的数据画出散点图，如下：由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散点图，如下：由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为z＝0.693＋0.020x，则有y＝e0.693＋0.020x.(2)由(1)知，当x＝168时，y＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高为168cm，预测他的体重约为57.57kg.两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1ec2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋aa＝lnc1，b＝c2的周围.3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数据如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程．[解]作出变量y与x之间的散点图如图所示．由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．设y＝kx，令t＝1x，则y＝kt.由y与x的数据表可得y与t的数据表：t4210.50.25y1612521作出y与t的散点图如图所示．由图可知y与t呈近似的线性相关关系．又t＝1.55，y＝7.2，i＝15tiyi＝94.25，i＝