2019-2020学年高中数学 第1章 统计 1-4-1 平均数、中位数、众数、极差、方差 1-4-

统计第一章§4数据的数字特征4．1平均数、中位数、众数、极差、方差4．2标准差自主预习学习目标目标解读1.能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力．2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力.重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用．难点：正确理解样本的随机性，合理选择抽签法与随机数法．根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.1．平均数、中位数、众数刻画一组数据__________的统计量有平均数、中位数和众数．平均数：n个数x1，x2，…，xn，那么它们的平均数为x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)称为中位数．众数：一组数据中，出现次数_____的数．知识梳理集中趋势最中间最多中位数不一定在这组数据中，而众数必定在该组数据中，有时一组数中有好几个众数．2．极差、方差、标准差刻画一组数据__________的统计量有极差、方差、标准差．极差：把一组数据中__________________叫做这组数据的极差．极差对极值非常敏感，一定程度上表明了该组数据的__________方差：设一组数据为x1，x2，x3，…，xn，其平均数为x，则方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其单位是原始观测数据单位的______离散程度最大值与最小值之差分散程度．平方．标准差：它是方差的正的平方根，s＝s2＝_________________________________，其单位与原始测量单位______1nx1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2相同．问题探究：数据组x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为非零常数)的平均数、方差、标准差分别是什么？提示：根据平均数、方差、标准差的定义可推得，数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为非零常数)的平均数为ax＋b，方差为a2s2，标准差为as.要点导学1.众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．要点一平均数、众数、中位数3．中位数仅与数据的排列位置有关．某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．4．实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．某公司30名职工的月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11212320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数．(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的月工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【思路启迪】(1)平均数、中位数、众数的定义是什么？(1)当一组数据中个别数据变动较大时，用哪个统计量描述它的集中趋势？【解】(1)平均数是5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×2＋2000×3＋1500×2030＝2050(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)平均数是30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×2＋2000×3＋1500×2030≈3367(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的月工资水平．因为公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别较大，这样导致平均数与职工整体月工资的偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的月工资水平．平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是反映数据集中趋势最常用的量，中位数可靠性较差，当一组数据中个别数据变动较大时，常用中位数表示该组数据的集中趋势．而众数求法较简便，也经常被用到．考查一组数据的特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑．大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大值与最小值处，把最高工资作为一个单位工资的评价，这是一种错误的评价方式．对甲，乙两种商品的重量的误差进行抽查，测得数据如下：(单位：mg)：甲：131514149142191011乙：1014912151411192216(1)画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数；(2)计算甲种商品重量误差的平均数．解：(1)茎叶图如图甲，乙两种商品重量误差的中位数分别为13.5,14.(2)x＝13＋15＋14＋14＋9＋14＋21＋11＋10＋910＝13.计算方差、标准差时，要根据数据的特点运用公式，若数据比较复杂，可先求x，再求xi－x，再求(xi－x)2，然后代入公式计算．要点二方差、标准差的计算已知一个样本为x,1，y,5，其中x，y是方程组x＋y＝2，x2＋y2＝10的解，则这个样本的标准差是()A．2B.2C．5D.5【思路启迪】(1)标准差的计算公式是什么？(2)如何应用已知条件计算？【解析】∵x＋y＝2，x2＋y2＝10，∴x＝14(x＋1＋y＋5)＝14[(x＋y)＋6]＝2，s2＝14[(x－2)2＋(1－2)2＋(y－2)2＋(5－2)2]＝14[(x2＋y2)－4(x＋y)＋18]＝14×20＝5，∴s＝s2＝5.【答案】D深刻理解平均数、方差的计算公式，灵活应用x＋y＝2和x2＋y2＝10进行整体求解是提高解题速度的关键．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679求以上两组数据的方差及标准差．解：x甲＝6＋7×3＋85＝7，x乙＝6×2＋7×2＋95＝7，s2甲＝15[(6－7)2＋3×(7－7)2＋(8－7)2]＝25＝0.4，s2乙＝15[2×(6－7)2＋2×(7－7)2＋(9－7)2]＝65＝1.2，∴s甲＝s2甲＝105；s乙＝s2乙＝305.平均数反映的是数据的平均水平，在实际应用中，平均数常被理解为平均水平．标准差反映的是数据的离散程度的大小，反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度，标准差越小表明在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．在实际应用中，标准差常被理解为稳定性，常常与平均数结合起来解决问题．要点三平均数、标准差的实际应用对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．【思路启迪】要判断谁参加比赛更合适，需要以什么为标准比较？【解】画出茎叶图，中间数为数据的十位数.甲乙72898751033468从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．(2)根据公式得：x甲＝33，x乙＝33；s甲＝3.96，s乙＝3.35；甲的中位数是33，乙的中位数是33.5.综合比较选乙参加比赛较为合适．判断甲、乙两赛手成绩的优劣，通常用平均数和方差作为标准来比较，当平均数相同时，还应考查他们的成绩波动情况(方差)，以达到判断上的合理性和全面性．为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1000km)轮胎A96,112,97,108,100,103,86,98轮胎B108,101,94,105,96,93,97,106(1)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；(3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？解：(1)A轮胎行驶的最远里程的平均数为：96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋988＝100，中位数为：100＋982＝99；B轮胎行驶的最远里程的平均数为：108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋1068＝100，中位数为：101＋972＝99.(2)A轮胎行驶的最远里程的极差为：112－86＝26，标准差为：s＝－42＋122＋－32＋82＋0＋32＋－142＋－228＝2212≈7.43.B轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15，标准差为：s＝82＋12＋－62＋52＋－42＋－72＋－32＋628＝1182≈5.43.(3)由于A和B的最远行驶里程的平均数相同，而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定．易错点数据分析不到位要加工一圆形零件，按图纸要求，直径为10mm，现在由甲、乙两人加工此种零件，在他们加工的产品中各抽取5件，测得的直径如下：甲：10.0510.029.979.9610.00乙：10.0010.0110.029.9710.00问甲、乙两人谁生产的零件较好．易错盘点【错因分析】用样本的数字特征估计总体的数字特征，是统计学常用的基本原理．所给数据中，平均数相同，只能说明平均水平相同，但甲、乙哪个更稳定，应用方差来说明，因为数据的平均数只反映数据的平均水平，而方差、标准差则反映了数据的稳定程度、集中与离散程度．【正确解答】x甲＝x乙＝10mm，s甲＝15[10.05－102＋10.02－102＋…＋10.00－102]≈0.033(mm)，s乙＝15[10.00－102＋10.01－102＋…＋10.00－102]≈0.017(mm)，∴s甲s乙，∴乙生产的零件较好．当样本的平均数相等或相差无几时，就要用标准差来衡量数据的离散程度(稳定性)．只有把平均数和标准差结合起来考虑问题，才能做出合理的、全面的判断．对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836试判断选谁参加某项重大比赛更合适．解：他们的平均速度为x甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，x乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.他们的平均速度相同，再看方差：s2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473，s2乙＝16[(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383.则s2甲s2乙，即s甲s乙．故乙的成绩比甲稳定．所以，应选乙参加比赛更合适．如果要分析一组数据的平均水平，可以采用平均数来解决；如果一组数据中个别数据与其他数据差异较大时，应考虑采用中位数来观察这组数据的集中趋势；如果一组数据中有许多数据反复出现时，应考虑用众数来观察这组数据的集中趋势．要研究一组数据的离散程度，在数学上我们一般利用方差来描述，实际应用中则用标准差．学习小结1．在某次考试中，10名同学得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为()A．84,68B．84,78C．84,81D．78,81随堂训练解析：由定义，这组数据的众数为84，按从小到大排列这10个数据：68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，∴中位数为79＋832＝81.答案：C2．一组数据按从小到大顺序排列为1,2,4，x,6,9这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数和